Matematické Fórum

jakub.kuba · 16. 07. 2009 17:17

Zdravím, opět problém s kružnicí. Zadání : Napište rovnici kružnice procházející třemi body: A=17;12 B=-7;-6 C=14;-9
Zadání je jednoduché, řešení vypadalo taky. ALe pokaždé mi to vyjde jinak, podle různých modelů řešení. Nechápu to. Nejdříve jsem používal toto řešení:
http://www.e-matematika.cz/stredni-skol … i-body.php
a pak tohle:
http://maths.cz/clanky/analyticka-geome … znice.html (je to šestý příklad)
Řešení vypadá stejně, ale nevím proč to nevychází. Mohl by to někdo zkusit vypočítat podle toho prvního řešení, a napsat sem co mu vyjde? Chápu, je to jen počítání když se to dosadí, ale nevím kde už je problém ...

gladiator01

marnes · 16. 07. 2009 18:49 — Editoval marnes (17. 07. 2009 08:49)

↑ jakub.kuba:
$(m-17)^2+ (n-12)^2=r^2$
$(m+7)^2+ (n+6)^2=r^2$
$(m-14)^2+ (n+9)^2=r^2$
$m^2-34m+289+n^2-24n+144=r^2$
$m^2+14m+49+n^2+12n+36=r^2$
$m^2-28m+196+n^2+18n+81=r^2$
$-48m-36n=-348$
$+42m-6n=192$
$-48m-36n=-348$
$-252m+36n=-1152$
$-300m=-1500$
$m=5$
$210-6n=192$
$-6n=-18$
$n=3$
$(5-17)^2+ (3-12)^2=r^2$
$r^2=225$
r být -15 nemůže, poloměr nemůže být záporný, takže jediná rovnice je
$(x-5)^2+ (y-3)^2=225$

Cheop · 17. 07. 2009 08:28 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 09:19)

↑ marnes:
Myslím, že Tvá rovnice není dobře.
Zkus do rovnice dosadit bod A
Rovnice vyjde tak jak píše ↑ gladiator01: tj:
$(x-5)^2+(y-3)^2=225\nlx^2+y^2-10x-6y-191=0$
Viz obrázek

musixx · 17. 07. 2009 08:45 — Editoval musixx (17. 07. 2009 08:45)

↑ Cheop: Jediný problém u ↑ marnes: je jeho závěr (poslední rovnice - kde se vzala?)

Počíteční tři rovnice jsou také poněkud matoucně zapsané, i když správné (a^2 = (-a)^2). Je třeba si uvědomit, co jsou neznámé. Zde zřejmě r (poloměr) a m,n (souřadnice středu kružnice). Typicky se rovnice kružnice uvádí ve tvaru $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ , takže spíš bych čekal začít s tímhle:
$(17-m)^2+ (12-n)^2=r^2$
$(-7-m)^2+ (-6-n)^2=r^2$
$(14-m)^2+ (-9-n)^2=r^2$
Pak by také bylo jasné co kam dosazovat. ↑ marnes: správně spočítal m=5, n=3, r^2=225 (netřeba uvažovat, kolik je r samo a vylučovat záporný poloměr).

marnes · 17. 07. 2009 08:49

↑ Cheop:
Děkuji za upozornění, opravím.To je tím psaním v Texu. Na papíře OK, ale při přepisování posledního řádku jsem smazal 5 a 3 a nechal 17 a 12:-(

Jinak ale úpravy byly OK,ne?

Cheop · 17. 07. 2009 08:50

↑ musixx:
Máš pravdu já jsem si nevšimnul, že to má marnes v podstatě dobře jen při psaní
závěrečné rovnice ho zřejmě obešel nějaký blud. (I to se může stát)

PS: Z těch Tvých 3 rovnic vyjde požadovaný výsledek.

Cheop · 17. 07. 2009 08:51

↑ marnes:
Ano viz příspěvek výše.

marnes · 17. 07. 2009 08:52 — Editoval marnes (17. 07. 2009 08:56)

↑ musixx:S tou mínus 15 jsem reagoval na uvedené řešení gladiator01

musixx · 17. 07. 2009 09:08

↑ marnes: Ano, ten solver použitý v ↑ gladiator01: samozřejmě nic neví o tom, že jde o rovnici kružnice. Možná šikovněji by to ↑ gladiator01: udělal, kdyby neříkal, že na pravé straně stojí druhá mocnina neznámé, ale nechal tam třeba jednoduchou neznámou rr. Pak by solver dal jediné řešení (s rr=225). No a o kružnici by šlo právě tehdy, kdyby rr>0, což tady je. To vše jen proto, aby to třeba nechtělo svédět k dojmu, že za nějakých okolností by mohla být dvě řešení (nemohla, neleží-li body na stejné přímce).

Cheop · 17. 07. 2009 10:49 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 10:58)

↑ jakub.kuba:
Jde to počítat i takto:
1) vyjádříme rovnice jednotlivých stran trojúhelníku ABC
Rovnice:
$AB:\,3x-4y-3=0\nlAC:\,7x-y-107=0\nlBC:\,x+7y+49=0$
Strany AC a BC jsou na sebe kolmé (plyne z rovnic stran), znamená to,
že trojúhelník ABC je pravoúhlý. Střed kružnice opsané pravoúhlému
trojúhelníku leží ve středu přepony. Tady ve středu strany AB
Střed kružnice bude:
$S_x=\frac{17-7}{2}=5\nlS_y=\frac{12-6}{2}=3\nlS(5;3)$
Poloměr kružnice bude vzdálenost SA tj:
$r=\sqrt{(17-5)^2+(12-3)^2}\nlr=15$
Pak rovnice kružnice bude:
$(x-5)^2+(y-3)^2=225$

PS Tento výpočet jsme si mohli dovolit proto, že trojúhelník ABC je pravoúhlý.
Obecné řešení je popsáno od kolegů.

Obrázek:

Cheop · 17. 07. 2009 14:47 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 16:59)

↑ jakub.kuba:
Obecný postup výpočtu přes osy stran trojúhelníka.
Víme, že střed kružnice opsané trojúhelníku je průsečíkem os stran.
1) určíme rovnice dvou stran trojúhelníka
2) určíme rovnice os dvou stran trojúhelníka
3) určíme průsečík os ( to bude střed kružnice opsané)
4) určíme poloměr kružnice jako vzdálenost dvou bodů.
5) Napíšeme rovnici kružnice

ad1)
a) Rovnice strany AB
$y=kx+q\nlk=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B}\nlk=\frac{12+6}{17+7}=\frac 34\nl12=\frac 34\cdot 17+q\nlq=-\frac 34\nly=\frac{3x}{4}-\frac 34\nlAB:\,3x-4y-3=0$
b) Rovnice strany BC
$k=\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}\nlk=\frac{-6+9}{-7-14}\nlk=-\frac 17\nl-6=-\frac 17\cdot(-7)+q\nlq=-7\nly=-\frac{x}{7}-7\nlBC:\,x+7y+49=0$
ad2)
a) Rovnice osy strany AB (jekolmá na stranu AB a prochází středem strany AB)
určíme střed strany AB
$S{AB_x}=\frac{17-7}{2}=5\nlS{AB_y}=\frac{12-6}{2}=3\nlS_{AB}\,(5;3)$
Rovnice osy strany AB (je kolmá na AB a prochází bodem S_AB)
$4x+3y+c=0\nl20+9+c=0\nlc=-29\nlO_{AB}:\,4x+3y-29=0$
b) Rovnice osy strany BC
střed strany BC
$S{BC_x}=\frac{14-7}{2}=\frac{7}{2}\nlS{BC_y}=\frac{-6-9}{2}=-\frac{15}{2}\nlS_{BC}\,\left(\frac 72;-\frac{15}{2}\right)$
Rovnice osy strany BC(je kolmá na BC a prochází bodem S_BC)
$7x-y+c=0\nl\frac{49}{2}+\frac{15}{2}+c=0\nlc=-32\nlO_{BC}:\,7x-y-32=0$
ad3) (průsečík os stran)
$7x-y-32=0\nl4x+3y-29=0\nl21x-3y-96=0\nl4x+3y-29=0\nl25x=125\nlx=5\nly=7x-32\nly=35-32\nly=3\nlS_k\,(5;3)$
ad4) poloměr kružnice bude to vzdálenost S_kA tedy:
$r=\sqrt{(17-5)^2+(12-3)^2}\nlr=15$

ad5) rovnice kružnice:
z obecné rovnice kružnice:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ kde (m;n) jsou souřadnice středu kružnice a r je poloměr kružnice

$(x-5)^2+(y-3)^2=225$

nseo@seznam.cz · 04. 08. 2009 19:04

Dobrý den potřeboval bych pomoci s následujícím..
Tady je ten problém potřebuju vzorec nebo metodu, na výpočet včech souřadnic XY nacházejících se mezi body A a B které jsou též reprezentované souřadnicemi XY(příklad začátek přímky X = 100, Y = 100 a konec přímky X = 300, Y = 300)a já potřebuji vypsat všechny souřadnice mezi...
Děkuji moc a mimochodem pokud by někdo chtěl častěji pomáhat spíše radit s mat problémy tak bych ho rád připojil do mého projektu není to bussines jen open source program pro kreslení el.shémat

musixx · 05. 08. 2009 09:15 — Editoval musixx (05. 08. 2009 09:23)

↑ nseo@seznam.cz: Jestli to správně chápu, tak potřebuješ vykreslit úsečku, pravděpodobně do toho tvého programu na kreslení el.schémat.

Za prvé: Jedna věc je teoretická rovina, a druhá je to, aby to hezky vypadalo v nějaké aplikaci na počítači. A tu máme ve hře různé věci jako třeba aliasing, významný například při zoomu části okna. Nestálo by za to použít na vykreslení přímky nějakou standardní funkci, která třeba umí pracovat i s tím aliasingem? Mluvíš o open source, co třeba OpenGL? Nebo pro začátek aspoň něco z GUI (API ve Windows)?

Za druhé: Mám-li úsečku AB, pak libovolný bod na ní lze jednoznačně vyjádřit jako $t\cdot A+(1-t)\cdot B$ , kde $t\in\langle0;1\rangle$ .

Za třetí: Zajímám-li se, které pixely obarvit barvou úsečky, pak musím řešit například to, které jsou proťaty touto "ideální" přimkou (pixely si představ jako mozaiku, jako šachovnici). To není nijak těžké, jenže pak se může stát, že úsečka je někde tlustší a někde tenčí (vykreslena na obrazovce). Jiná metoda je vykreslit vždy jen pixel doprava, nahoru/dolů či úhlopříčně vpravo od stávajícího pixelu (při kreslení úsečky zleva doprava). To dá malinko hezčí výstup, ale pořád na kontrastním popředí vůči pozadí uvidíš zuby. Eliminovat je, znamená poměrně složité výpočty (třeba již zmíněný aliasing), případně se dá třeba sytost barvy nastavit úměrně k tomu, jak dlouhá část úsečky protíná ten onen konkrétní pixel (coby vlastně čtverec).

Shrnutí: Teoreticky $t\cdot A+(1-t)\cdot B$ , kde $t\in\langle0;1\rangle$ , prakticky při programování doporučuju použít nějakou základní funkci poskytovanou snad každým GUI (pro úsečku jde typicky o kombinaci něčeho jako MoveTo() a LineTo() funkcí/metod), pokud to chceš mít opravdu hezké, tak OpenGL s antialiasingem.

Matematické Fórum

#1 16. 07. 2009 17:17

Analytická geometrie - kružnice

#2 16. 07. 2009 17:31 — Editoval gladiator01 (16. 07. 2009 17:38)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#3 16. 07. 2009 18:49 — Editoval marnes (17. 07. 2009 08:49)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#4 17. 07. 2009 08:28 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 09:19)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#5 17. 07. 2009 08:45 — Editoval musixx (17. 07. 2009 08:45)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#6 17. 07. 2009 08:49

Re: Analytická geometrie - kružnice

#7 17. 07. 2009 08:50

Re: Analytická geometrie - kružnice

#8 17. 07. 2009 08:51

Re: Analytická geometrie - kružnice

#9 17. 07. 2009 08:52 — Editoval marnes (17. 07. 2009 08:56)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#10 17. 07. 2009 09:08

Re: Analytická geometrie - kružnice

#11 17. 07. 2009 10:49 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 10:58)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#12 17. 07. 2009 14:47 — Editoval Cheop (17. 07. 2009 16:59)

Re: Analytická geometrie - kružnice

#13 04. 08. 2009 19:04

Re: Analytická geometrie - kružnice

#14 05. 08. 2009 09:15 — Editoval musixx (05. 08. 2009 09:23)

Re: Analytická geometrie - kružnice

Zápatí