Matematické Fórum

Moc to čitelné není.

Já jsem takovýhle příklad nikdy nepočítal, takže vše co napíšu dál je bez záruky. Navíc operátory vektorové analýzy (rot, grad, div) v jiných než kartézských souřadnicích také nepatří mezi moje nejsilnější stránky (ale třeba poradí někdo z matematiků).

Základem bude určitě vyjít z Maxwellovy rovnice



Těmi konstantami bych se při vypočtu nezabýval (jako že bych je tam vůbec nedal), těmi se to dá vynásobit nakonec.

Formálně tedy proudovou hustotu dostaneš spočítáním rotace zadaného magnetického pole B. Takže to asi budeš muset spočítat...

Tam kde derivace existují, tam bude výsledek přímo proudová hustota (to je to, co máš v zadání nazvané jako "objemové proudy"). Je ale možné, že ti to vyjde rovné nule. V té části, kde je B=0 to tak vyjde určitě, ale je klidně možné, že i jinde.

A tam, kde derivace neexistují (kde se B mění nespojitě), tam se bude muset spočítat ta plošná hustota proudu. Já ovšem nevím jak, to jsem nikdy nedělal. Možná, až uvidím výsledek, tak mě něco napadne.

Možná se na to používá ten druhý operátor, divergence. Ono totiž pro proud platí rovnice kontinuity, div j = 0. Ovšem pro B to platí taky, div B = 0.


Také je možná cesta (a tou bych se asi ubíral já) spočítat tu plošnou či lineární hustotu přes nějaké ty integrální vztahy.

Mě se zdá, že vztah (nakolik ho dokážu z toho obrázku přečíst) by mohlo být magnetické pole kolem nekonečně tenkého vodiče uprostřed trubky s poloměrem "a" - tedy v koaxiálním kabelu. Pole je zjevně rotačně symetrické podél osy z, a nejspíč je prostě válcově symetrické (jenže my ho máme zadáno ve sférických souřadnicích). Potom by proudová hustota v prostoru mezi vodiči měla vyjít nulová. A pro spočítání té plošné (na povrchu trubky) či lineární (v tom nekonečně tenkém vodiči uvnitř) by stačilo určit celkový proud a vhodně to podělit.

Ale jak říkám, já na tyhlety sférické a cylindrické souřadnice nejsem odborník. Zkus to zderivovat, a pokud to vyjde všude nula (tam, kde derivace existují), můžeme pokračovat. Předpokládám, že to derivování je smyslem příkladu.

Ono by to možná totiž šlo i bez něj - když by se podařilo dokázat, že integrál po kružinici kolem osy z nezávisí na jejím poloměru, tak je to důkaz, že je to pole kolem (nekonečně) tenkého vodiče, a pak je jasné, že rot B bude všude (mimo ten středový, nekonečně tenký vodič) nulová.

Zkus taky poskytnout lepší obrázek zadání.