Matematické Fórum

↑ vanok:
a mohl bych se zeptat, co tam znamená každý člen v té matici? A jak se k ní přijde?

Nejlepší je asi vzpomenout, jak je vlastně sinus a cosinus definovaný.

Pokud máme vektor, jež míří ve směru osy x a má délku L, a otočíme jej o úhel , budou nové souřadnice tohoto vektoru




a protože to L je v našem případě také x-ová složka, protože míří ve směru osy x (takže y-ová složka je rovna nule), můžeme rovnou psát




Stejně tak pro vektor jež míří jen do osy y, můžeme udělat to samé




a stejně tak jako předtím bylo L x-ová složka, tak teď je y-ová





Pokud vektor míří do obecného směru, tj. má nenulovou x-ovou i y-ovou složku, můžeme jej vyjádřit jako sučet dvou vektorů, z nichž jeden míří do směru osy x, a druhý do směru osy y.

Takže po sečtení těch našich rovnic dostaneme




Což už je to samé, jako v tom maticovém zápise. No - mám tam naopak znaménko, zřejmě jsem ten úhel uvažoval na druhou stranu, než je to zvykem. Ale v principu je to to samé.

Pridam jeden konkretny priklad matice rotacie, ktory som slubil.
Vysetrite zobrazenie matice

Navod. Ukazte, ze ide o rotaciu ( aka je jej os a uhol?).

↑ 1jirka22:

A pochopitelne, opacne,  je byt schopny napisat maticu rotacie v danej ortonormalnej orientovanej bazy ak pozname jej os a uhol. 

Dufam, ze som ti pomohol trochu si uvedomit, vdaka mojim riadkom v tomto vlakne, co je uzitocne vediet a aj prehlbit na tuto temu.

↑ MichalAld:
Pozdravujem,
Myslim si , akoze vlastne hodnoty matice realnej rotacie v dvojnrozmerneho priestoru nema realne
hodnoty.(  Az na uhly a ) Takto student ktory este nepozna ine prietory bude pracovat v realnom priestore.  Metodu prace som naznacil vyssie. 

Doplnok. 
Mozme dokazat, matica realnej rotacie v 2D je diagonalabilna v ( jej det je 1)
.
Tvoja uvaha je spravna. 
Opakujem.
Ale akoze ide o o realne rotacie, tak na riesenie sa pouziva len realny ramec.   ( pokial, student nema dostatocne znalosti, a nedokaze ich interpretaciu lebo jeden priestor ma dimenziu 2 a druhy 4). 

Ak sa napise charakteristicky polynom tak sa to lahko dokaze. 

Dakujem, ze sa o to zaujimas. 

Poznamka.   Rotacie sa daju generalizovat aj do viac rozmernych priestorov.  No vsak to sa asi neuci na technickych smeroch.

vanok napsal(a):

Ak sa napise charakteristicky polynom tak sa to lahko dokaze. 

Dakujem, ze sa o to zaujimas. 

Poznamka.   Rotacie sa daju generalizovat aj do viac rozmernych priestorov.  No vsak to sa asi neuci na technickych smeroch.

Já jsem právě nevěděl, jestli krom vlastních čísel není potřeba ještě nějaké další podmínky.

My jsme myslím na univerzitě tady ty transformace (rotace atd) nebrali vůbec. Algebru jsem měli jen jeden semestr, a k tomu ještě ten první, polovinu času jsem ani nevěděl, o čem se tam mluví.

Ale vlastní čísla mne zaujala, jednak jsem to hned pochopil, a jednak to byla (je) taková netriviální věc, že by normálního člověka ani nenapadlo, že něco takového existuje. Takže zajímavé.
(narozdíl od standardního příkladu "najděte inverzní matici k .... (5x5), z čehož mě mohlo vždycky potrefit)

Pokud jde o rotace v prostorech vyšší dimenze, tak s tím jsem se setkal až ve fyzice (dávno po škole) - totiž Lorentzova transformace je vlatně taková "rotace" ve 4D prostoru.

Píšu to ovšem s otazníkem, protože on je to vlastně 3D+T prostor, a má takovou speciální metriku - velikost vektoru se tam nerovná , ale
Plnye z toho spousta takových zvláštních věcí (jako že existují vektory s nulovou velikostí, a přitom nejsou nulové), a také třeba to, že při oné "rotaci", při které se zachovává velikost vektoru, nejde o "pohyb po kružnici" ale o "pohyb po hyperbole". S oblibou se to však také nazývá "rotace" - i když ten úhel vychází tuším imaginární, ale občas si někdo dá tu práci, aby to nazval "zobecněná hyperbolická rotace". V transformační matici pak nejsou siny a cosiny, ale jejich hyperbolické ekvivalenty.