Matematické Fórum

guy2018 · 07. 11. 2018 20:04

Dobrý večer,
mám úlohu: Pro nezáporné celočíselné parametry m,n určete součet všech kombinačních čísel(k+l nad l), která splňují $k \in$ {0,1,...,m} a $l \in$ {0,1,...,n}.
Úlohu vyřešte nejdříve obecně, a poté určete konkrétní výsledek pro m=5 a n=10.
Vím, že u normálního kombinačního čísla je součet všech podmnožin 2^n, ale nějak si neumím představit, jak tady bude vypadat ta suma. Po pokrácení jsem také zjistil, že je to ((k+l)! nad l! . k!). Nevím ale , jestli to nějak pomůže.
Děkuji předem za rady. :)

laszky · 07. 11. 2018 22:05

↑ guy2018:

Ahoj, takze se jedna o sumu $\sum_{k=0}^m\sum_{l=0}^n\binom{k+l}{l}$ ?

Pokud ano, zkus pouzit dvakrat vztah $\sum_{i=0}^r\binom{j+i}{i}=\binom{j+r+1}{r}$ ,

kterej si muzes dokazat napr. indukci ;-)

guy2018 · 07. 11. 2018 22:58

Děkuji, na tyto vzorce jsem také narazil na internetu, jen jsem si neuvědomil tu dvojitou sumu. Takže po úpravě to bude $k+n+1 \choose n$ $l+m+1 \choose l+1$ ? Stačí to takhle nebo to ještě jde nějak upravit?

laszky · 07. 11. 2018 23:02

↑ guy2018:

Nebude to tak. Ve vysledku urcite nesmi byt indexy $k$ a $l$ , protoze se pres ne scita.

guy2018 · 07. 11. 2018 23:16

Pokud jsem to správně pochopil, tak podle těch dvou vzorečků by ty sumy měli být $\sum_{l=0}^{n}$ $k+l \choose l$ = $k+n+1 \choose n$ a $\sum_{k=0}^{m}$ $k+l \choose l$ = $l+m+1 \choose l+1$ ne?

laszky · 07. 11. 2018 23:20 — Editoval laszky (07. 11. 2018 23:23)

↑ guy2018:

To je v podstate stejna suma jen s jinak oznacenejma indexama... spravne to ma byt nejak takto

$\sum_{k=0}^m \sum_{l=0}^n\binom{k+l}{l} \; = \; \sum_{k=0}^m\left[\sum_{l=0}^n\binom{k+l}{l}\right] \; = \; \sum_{k=0}^m\binom{k+n+1}{n} \; = \; \sum_{k=0}^m\binom{k+n+1}{k+1} \; = \; \sum_{k=1}^{m+1}\binom{k+n}{k} \; = \; \cdots$

guy2018 · 07. 11. 2018 23:47

Díky, už mi to vyšlo bez těch k,l. :)

laszky · 07. 11. 2018 23:54

↑ guy2018:

No tak to sem klidne muzes ten vysledek napsat ;-)

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2018 20:04

Diskrétní matematika

#2 07. 11. 2018 22:05

Re: Diskrétní matematika

#3 07. 11. 2018 22:58

Re: Diskrétní matematika

#4 07. 11. 2018 23:02

Re: Diskrétní matematika

#5 07. 11. 2018 23:16

Re: Diskrétní matematika

#6 07. 11. 2018 23:20 — Editoval laszky (07. 11. 2018 23:23)

Re: Diskrétní matematika

#7 07. 11. 2018 23:47

Re: Diskrétní matematika

#8 07. 11. 2018 23:54

Re: Diskrétní matematika

Zápatí