Matematické Fórum

kuncovam · 08. 12. 2018 20:03

Dobrý večer,
lámu si hlavu s tím, jak vypočítat polohu populačního středu obce. Jde o problém týkající se především geografie, ale k jeho vyřešení jsou potřeba samozřejmě matematické úkony, proto se s tímto dotazem obracím i na Vás. Pro jeho výpočet je třeba uvážit rozložení domů v obci (jejich souřadnice) a samozřejmě počet lidí žijících v jednotlivých domech. V žádném programu jsem ale nedokázala vytvořit takový model, ze kterého bych požadovaný střed (těžiště bodového pole) dokázala zjistit.
Mezi materiály z vysokých škol jsem našla zadání tohoto úkolu (jde tam o populační střed mikroregionu), ale nevím si s tím rady.
Poloha geografického populačního středu- počítá se z vybraných obcí, které se zanesou do kartézské soustavy a jejich x-ová a y-ová souřadnice se váží populační velikostí. Tak dostaneme vážený aritmetický průměr pro x a y a vyneseme populační střed do mapy.

Za pomoc bych byla vděčná.

check_drummer · 08. 12. 2018 20:53

↑ kuncovam:
Ahoj, asi by bylo dobré vědět, k čemu je ten střed obce požadováno dále využít. Protože ten střed půjde počítat více způsoby... Ale jelikož se střed pro více obcí se počítá jako vářený průměr středů těch obcí, tak by se to pro obec mělo počítat nějak podobně.
Co třeba vážený průměr souřadnic domů, kde váha je počet obyvatel v tom domu... a jako souřadnici domu asi můžeme brát libovolný bod toho domu, tam asi nepřesnost nehraje roli.
Případně může být možné brát oblast obce jako útvar v rovině a polohu jeho těžiště určíme jako střed obce...
A nebo pokud nepotřebujeme nějak přesné výsledky, tak omezíme obec do obdélníku a jako střed obce vezmeme střed tohoto obdélníka.

kuncovam

↑ check_drummer:
Nejde mi o střed geometrický, pokud bych brala obec jako útvar v rovině, jeho těžiště by nebylo těžké najít.
Důvod, kvůli kterému se tím zabývám, může být poněkud komický. Dostala jsem se k tomu při debatě o umístění obecního vánočního stromečku. To byl hlavní impuls, teď je to čistě o tom, že by mě zajímalo, jak se dá tento problém vyřešit.
Souhlasím s tím, že za váhu bych u váženého průměru dosazovala počet obyvatel, ale jak se poprat s těmi souřadnicemi ve tvaru $[x;y]$ ?
Jednoduše vypočítat vážený průměr pro každou souřadnici zvlášť?

Díky za reakci

MichalAld

Já bych to počítal úplně stejně jako těžiště soustavy hmotných bodů (lidi se nakonec od hmotných bodů zase tak moc neliší - jen se musí předpokládat že jsou všichni stejně těžcí). A pro těžiště platí vztah:

$\overrightarrow{r_s} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\overrightarrow{m_ir_i}}{m}$

Pokud to chceme skutečně počítat, tak musíme:

1) si zvolit souřadný systém, ve kterém budeme mít udánu polohu jednotlivých lidí r_i
2) v tomto souřadném systému pak vyjde i poloha těžiště r_s
3) a vztah je ve vektorovém tvaru, musíme si to rozepsat na složky x, y

Protože předpokládáme, že hmotnost všech lidí je stejná (doufám že se děti nemají počítat jen polovinou...), můžeme tu hmotnost ze vztahu vykrátit, takže:

$\overrightarrow{r_s} = \frac{\sum_{i=1}^{N}\overrightarrow{r_i}}{N}$

To "rozložení na složky x,y" znamená, že počítáme zvláš x-souřadnici a zvlášť y-souřadnici.

V důsledku to není jic jiného než spočítat průměr všech x-souřadnic, a průměr všech y-souřadnic. Jen připomínám, nejsou to souřadnice domů, ale jednotlivých lidí. Přijde mi to jednodušší (aspoň na pochopení) než ten vážený průměr - v důsledku je to ale úplně to samé.

check_drummer · 09. 12. 2018 18:30

↑ kuncovam:
To je spíš sociální než matematický problém. Asi je vhodné dát stromeček tam, kde se setkává nejvíce lidí, jako např. náměstí, náves nebo nejrušnější křižovatka, případně nějaký vhodný prostor, kde se konají nějaká shromáždění (jako oslavy, atd.). Tato místa leží zpravidla více méně uprostřed obce,ale asi bych ho neurčoval matematicky, ale nějak "sociálně". Matematicky by to asi vyšlo úplně mimo silnici u někoho na zahradě nebo na poli... Možná by to šlo matematicky udělat tak, jak se určuje centrum stromu (asi to jde zobecnit i na graf a vážený graf), tj. najdeme takové místo, jehož nejdelší vzdálenost k nějakému jinému místu v obci je nejkratší - a budeme uvažovat graf, jehož hrany a vrcholy jsou tvořeny jen cestami a silnicemi dané obce.

Ale nevím, proč tě zajímá i nějaký střed regionu přes všechny obce v okolí, to nevím jak s vánočním stromečkem souvisí.

MichalAld · 09. 12. 2018 19:11

Určitě by šel "populační střed" hledat tak, že to je bod, od kterého je součet vzdáleností od každého obyvatele minimální - s tím, že za "vzdálenost" se musí brát délka cesty, která k němu vede. Jen se obávám, že na to nebude jednodychý vzorec.

check_drummer

↑ MichalAld:
Asi by se to muselo řešit výpočtem, promítnu každého obyvatele na nejbližší silnici, sestrojím z těchto průmětů graf s vrcholy odpovídající promítnutým občanům a délky hran jsou vzdálenosti sousedních občanů a pustím nějaký grafový algoritmus.. nebo si ho napíšu...

Akorát takto definovaný střed nemusí být jednoznačný - např. skládá-li obec jen z jedné kružnice a lidé jsou na ni rozmístěni pravidelně.

Edit. Možná by šlo postupovat tak, že nejdřív sestrojíme minimální kostru a na ní pak nejdme její centrum...

Matematické Fórum

#1 08. 12. 2018 20:03

Populační střed obce

#2 08. 12. 2018 20:53

Re: Populační střed obce

#3 08. 12. 2018 21:09 — Editoval kuncovam (08. 12. 2018 21:14)

Re: Populační střed obce

#4 08. 12. 2018 21:12 Příspěvek uživatele kuncovam byl skryt uživatelem kuncovam. Důvod: Opakování

#5 08. 12. 2018 21:24 — Editoval MichalAld (08. 12. 2018 21:28)

Re: Populační střed obce

#6 09. 12. 2018 18:30

Re: Populační střed obce

#7 09. 12. 2018 19:11

Re: Populační střed obce

#8 10. 12. 2018 18:03 — Editoval check_drummer (12. 12. 2018 23:59)

Re: Populační střed obce

Zápatí