Matematické Fórum

lukaszh · 23. 08. 2009 20:12

Ahojte,

dnes sa mi podarilo odvodiť jeden, aspoň pre mňa zaujímavý vzťah. Nikde som sa s ním doposiaľ nestretol. Je to
$\boxed{\ln x=\lim_{n\to\infty}n\cdot$1-\frac{1}{x^{1/n}}$}$
Počítajme integrál s neznalosťou $(\ln x)'=1/x$
$\int\frac{\rm{d}x}{x^1}=???\,;\;x\,>\,0$
Zvolím malé číslo omega, pričom
$\varphi_{\omega}(x)=\int\frac{\rm{d}x}{x^{1+\omega}}=\int x^{-(1+\omega)}\,\rm{d}x=\frac{x^{1-(1+\omega)}}{1-(1+\omega)}+C=\boxed{C-\frac{1}{\omega\cdot x^{\omega}}}$
Omegu definujem ako zlomok
$\omega=\frac{1}{n}\,;\;n\in\mathbb{N}$
Potom výsledok vyzerá nasledovne
$\varphi_n(x)=C-\frac{n}{x^{1/n}}$
Viem, že limitne $n\to\infty\quad\Rightarrow\quad x^{1/n}=1$ , teda daná funkčná postupnosť nekonverguje k žiadnej "normálnej funkcií. Prirodzene sa mi núka voliť
$C=n$
pričom potom možno uvažovať o konvergencii ako takej.
$\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}n\cdot$1-\frac{1}{x^{1/n}}$$
Všetci určite vieme, že funkcia $\varphi$ je prirodzený logaritmus, no robím sa, že neviem. Je to nejaká neznáma funkcia. Ako by sa dalo z tohto zápisu prísť na to, že ide o prirodzený logaritmus? Alebo aspoň zistiť, že funkcia sa správa ako každá iná logaritmická funkcia? Overme napríklad $\log_{X}Y^Z=Z\cdot\log_{X}Y$
$\varphi(x^y)=\lim_{n\to\infty}n\cdot$1-\frac{1}{x^{y/n}}$=\rm{... zahadny postup ...}=y\cdot\lim_{n\to\infty}n\cdot$1-\frac{1}{x^{1/n}}$$
Záhadný postup je záhadný postup. Neviem, akým spôsobom sa dá na toto prísť. O logaritme nenapovie veľa ani určitý integrál, ktorý nevyužíva záhadné konštanty :-)
$\int_{A}^{B}\frac{\rm{d}x}{x^{1+\omega}}=\int_{A}^{B}x^{-(1+\omega)}\,\rm{d}x=\left[-\frac{1}{\omega\cdot x^{\omega}}\right]_{A}^{B}=\frac{1}{\omega\cdot A^{\omega}}-\frac{1}{\omega\cdot B^{\omega}}=\frac{n}{A^{1/n}}-\frac{n}{B^{1/n}}$
$\int_{A}^{B}\frac{\rm{d}x}{x}=\lim_{n\to\infty}$\frac{n}{A^{1/n}}-\frac{n}{B^{1/n}}$$

Vďaka za tipy.

Pavel Brožek

lukaszh napsal(a):
Ako by sa dalo z tohto zápisu prísť na to, že ide o prirodzený logaritmus?

Já bych tu limitu prostě spočítal. Ale nejsem si jistý, jestli je to to, o co ti jde.

Olin · 23. 08. 2009 22:34

Pokud bych mohl zaměnit limitu posloupnosti za limitu funkce (což doufám, že v tomto případě možné je), dostal bych

$\lim_{a\to\infty}a\cdot$1-\frac{1}{x^{y/a}}$ = \lim_{b\to\infty}b\cdot y\cdot$1-\frac{1}{x^{1/b}}$$
substitucí $b = \frac ay$ .

Ještě co mě teď k tomu napadlo, je že ten vztah nápadně připomíná cosi "inversního" ke známému vztahu

$\mathrm{e}^x = \lim_{n \to \infty} $ 1 + \frac xn $^n$

Nechť totiž

$y = $ 1 + \frac xn $^n$

k tomu je inversní funkce

$y = n \cdot (y^{1/n} - 1)$ .

Nějakým limitním přechodem, který teď večer už určitě dohromady nedám (ovšem neručím, že během dne ano), bychom snad mohli dostat

$\ln x = \lim_{n \to \infty} n \cdot (y^{1/n} - 1)$

odkud už by se vztah nalezený kolegou lukaszem dostal analogií se vztahem

$\ln \frac 1x = - \ln x$ .

Dobrou noc.

lukaszh · 24. 08. 2009 08:01

↑ Olin:
Cez ten inverz to vidím zatiaľ ako jedinú schodnú cestu. Vďaka za tip. Potom by to bolo

Teraz budem pracovať už len s inverznou
$y_n=n\cdot$\sqrt[n]{x}-1$=\sqrt[n]{x}\cdot n\cdot$1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}$$
Teraz za predpokladu, že existuje konečná limita postupnosti $a_n=n\cdot$1-\frac{1}{\sqrt[n]{x}}$$ , tak možno použiť vetu o súčine
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x}\cdot a_n=1\cdot\lim_{n\to\infty}a_n$
a je to :-) Všade predpokl. že $x>0$ .

Pavel Brožek

lukaszh napsal(a):
Všetci určite vieme, že funkcia $\varphi$ je prirodzený logaritmus.

A to víme jak? Kdybys zvolil $C=1+n$ , tak by to třeba nebyl přirozený logaritmus. To, že je to přirozený logaritmus, bych určil z výpočtu té limity

$\varphi(x)=\lim_{n\to\infty}n$1-\frac1{x^{\frac1n}}$=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac1{x^{\frac1n}}}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1-\textrm{e}^{-\frac1n\ln x}}{\frac1n}=\nl =\lim_{n\to\infty}\frac{-\textrm{e}^{-\frac1n\ln x}\cdot(-\ln x)\cdot$-\frac1{n^2}$}{-\frac1{n^2}}=\ln x\,\lim_{n\to\infty}\textrm{e}^{-\frac1n\ln x}=\ln x$

Marian · 24. 08. 2009 12:12

↑ lukaszh:
Osobně jsem s tímto přístupem již setkal. Doporučuji se informovat ve skriptech prof. Müllera z university v Trieru (GER), Věta 5.14 na stránce 41 v kapitole Posloupnosti (=Folgen). Úvaha pokračuje až na stránku 44.

Je tam de facto prezentován jistý korektní přístup zavedení logaritmické funkce, který se nevidí v českých učebnicích. Pro inspiraci výše zmíněného stahujte PDF verzi volně z autorových stránek zde.

lukaszh · 24. 08. 2009 12:23

↑ BrozekP:
Vďaka za výpočet. Zistil som, že bez samotného výpočtu, ťažko odvodzovať nejaké vlastnosti logaritmu.
↑ Marian:
Určite si to prečítam, vďaka.

Matematické Fórum

#1 23. 08. 2009 20:12

Prirodzený logaritmus

#2 23. 08. 2009 22:03 — Editoval BrozekP (23. 08. 2009 22:04)

Re: Prirodzený logaritmus

lukaszh napsal(a):

#3 23. 08. 2009 22:34

Re: Prirodzený logaritmus

#4 24. 08. 2009 08:01

Re: Prirodzený logaritmus

#5 24. 08. 2009 10:12 — Editoval BrozekP (24. 08. 2009 10:13)

Re: Prirodzený logaritmus

lukaszh napsal(a):

#6 24. 08. 2009 12:12

Re: Prirodzený logaritmus

#7 24. 08. 2009 12:23

Re: Prirodzený logaritmus

Zápatí