Matematické Fórum

simonaj1

tak ještě jedna slovní úloha hodně podobná té co jsem sem již dávala, myslím, že jsem to spočítala, jen bych potřebovala kontrolu... zadání: při chemickém rozkladu jisté látky časová změna množství látky (počet gramů, které se rozloží za jednotku času) je úměrné množství u látky nerozložené v libovolném čase t. Jestliže za 8 hodin z počátečního množství látky 100g, zbylo pouze 70g. Kolik gramů látky zbude za 24 hodin? Označte konstantu úměrnosti k a integrujte získanou rovnici a vypočtěte k a integrační konstantu C ze zadaných hodnot. Integrační konstantu zapište jako ln C a použijte vztah $\frac{dm}{dt}$

řešila jsem takto $\frac{dm}{dt}~m(t)\rightarrow{\frac{dm}{dt}=k.m(t)}$ integrace $\int{\frac{dm}{m}}=\int{k.dt}$ >> $ln|m|+c_1=k.t+c_2$ dostanu $lnm-lne^{kt}+lnC\rightarrow{m=c.e^{kt}}$

pro t=0 $100=C.e^0$ >> $C=100$ pro t=8 $70=100.e^{8k}$ , $e^{8k}=0.7$ z toho k $k=\frac{lne^{0,7}}{8}$ pro t=24 $m_{(24)}=100.0,7^3$ takže m=34,3g

EDIT> mám tam chybu a vím i kde... pro t=8 jsem měla počítat s hmotností 30g což je úbytek, ne se zůstatkem... tudíž úbytek po 24 hodinách bude 90g a zůstatek 10g

lukaszh · 03. 09. 2009 21:29

↑ simonaj1:
Myslím, že to je správne.

simonaj1 · 03. 09. 2009 21:41

↑ lukaszh:jenže ono mi to nějak nechce vycházet... asi blbě logaritmuji to k, jsem v tom celá zamotaná:-(

jelena · 03. 09. 2009 21:45

↑ simonaj1:

Zdravím,

nevím, zda kolega ↑ lukaszh:, pozdrav :-) kontroloval po editu nebo před, ale v zadání je, že "(počet gramů, které se rozloží za jednotku času) je úměrné množství u látky nerozložené v libovolném čase t".

tedy m(t) by mel být zůstatek (dosud nerozložena látka). Ještě pouvažuji.

Ještě tento přechod mi není úplně jasný: $e^{8k}=0.7$ , logaritmuji: ${8k}=\ln (0.7)$ , odsud ${k}=\frac{\ln 0.7}{8}$

simonaj1 · 03. 09. 2009 22:14

↑ jelena: no, řešila jsem jako rovnici... tedy $\frac{70}{100}=e^{8k}$ a potřebovala jsem vyjádřit k... asi ne příliš zdařile:-(

jelena · 03. 09. 2009 22:17

↑ simonaj1:

já jsem to brala spíš jako překlep. A už to tedy vychází jak má?

simonaj1 · 03. 09. 2009 22:28

↑ jelena:ne tak úplně jak bych si představovala....

simonaj1 · 03. 09. 2009 22:31

↑ simonaj1: pořád nedokážu vyjádřit to k správně

jelena · 03. 09. 2009 22:34

↑ simonaj1:

já bych řekla, že toto je v pořádku (pokud jsme spravne pochopili zadání):

${k}=\frac{\ln 0.7}{8}$

A jak by mělo vypadat? Děkuji.

simonaj1 · 03. 09. 2009 22:41

↑ jelena: no při tomto k mi vychází výsledek 34,3g jenže vezmu-li to trojčlenkou, tak mi vychází, že zůstatek by měl být 10g... tak si teď nejsem vůbec jistá tím, co jsem s tím prováděla... oficiální výsledek nemám

jelena · 03. 09. 2009 22:47

↑ simonaj1:

Ale trojčlenkou to nejde - tu můžeme používat, jen když je přímá úměra - tady je ovšem exponenciální závislost.

OK?

simonaj1 · 03. 09. 2009 23:05

↑ jelena:takže myslíte, že to mám OK?

LukasM · 03. 09. 2009 23:38

↑ simonaj1:
Ahoj. Jelena šla podle všeho spát, tak odpovím aspoň já. Souhlasím s jelenou a tedy s výsledkem 34,3g. A je dost důležitý abys pochopila proč je nesmysl jít na to s trojčlenkou - trojčlenka je totiž poměrně vznešenej název pro primitivní vztah kterej prostě říká, že pokud za prvních 8h zmizelo 30g, tak za každých dalších 8h zmizí zase 30g. Protože tady není závislost lineární, trojčlenka tu nefunguje a vyjde kravina.
Kdyby to bylo tak jednoduchý, nemuseli bychom nic integrovat, dopočítávat konstanty a dělat všechny ty další ptákoviny co jsme dělali.

jelena · 03. 09. 2009 23:45

Pro Simonu: doufám, že v tomto zápisu je to v pořádku:

$m=100\cdot e^{\frac{\ln 0.7}{8}t}$ nějaké další úpravy s e, ln už bych neprováděla.

(i když dnes mám pozoruhodně nepozorný výsledek i v tématu 1. ročníku SŠ a podle kolegy LukasM uz stejně podle vseho (podle čeho?) spím). Pozdrav :-)

LukasM · 03. 09. 2009 23:58

↑ jelena:
:-) Unáhleně jsem předpokládal, že když někdo pozdě večer na dlouho zmizí, tak šel spát - nic jiného v tom rozhodně nebylo. A nepozorným výsledkem vedle bych se být tebou netrápil, vzhledem k tomu kolika lidem tu stačíš za večer poradit je jasný, že tu a tam něco uteče, ne? Omlouvám se za OT a taky zdravím :-)

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2009 21:01 — Editoval simonaj1 (03. 09. 2009 21:24)

ještě jeden rozpad prvku

#2 03. 09. 2009 21:29

Re: ještě jeden rozpad prvku

#3 03. 09. 2009 21:41

Re: ještě jeden rozpad prvku

#4 03. 09. 2009 21:45

Re: ještě jeden rozpad prvku

#5 03. 09. 2009 22:14

Re: ještě jeden rozpad prvku

#6 03. 09. 2009 22:17

Re: ještě jeden rozpad prvku

#7 03. 09. 2009 22:28

Re: ještě jeden rozpad prvku

#8 03. 09. 2009 22:31

Re: ještě jeden rozpad prvku

#9 03. 09. 2009 22:34

Re: ještě jeden rozpad prvku

#10 03. 09. 2009 22:41

Re: ještě jeden rozpad prvku

#11 03. 09. 2009 22:47

Re: ještě jeden rozpad prvku

#12 03. 09. 2009 23:05

Re: ještě jeden rozpad prvku

#13 03. 09. 2009 23:38

Re: ještě jeden rozpad prvku

#14 03. 09. 2009 23:45

Re: ještě jeden rozpad prvku

#15 03. 09. 2009 23:58

Re: ještě jeden rozpad prvku

Zápatí