Matematické Fórum

liamlim_2 · 15. 08. 2020 13:31

Ahoj.

Prosím mohl by se někdo podívat, jestli v následujícím nemám nějakou chybu? Děkuji :) Všechno by to měly být jen čistě středoškolské operace, žádná vysoká matematika.

Nechť $x$ , $y$ a $z$ jsou po dvou nesoudělná čísla a $n\ge 5$ je prvočíslo. Dále nechť $x^n + y^n + z^n = 0$ .

Úpravami dostaneme:
(1) $\left(\frac{x^{2n} - y^nz^n}{x^2 - yz}\right) (x^2 - yz) = (y^2-xz) \left(\frac{y^{2n} - x^nz^n}{y^2-xz}\right) =$
(2) $\left(\frac{x^{3n} - y^{3n}}{x^3 - y^3}\right) (x^2 + xy + y^2) = (z^2 - xy) \left(\frac{z^{2n} - x^ny^n}{z^2 - xy}\right)\left(\frac{x^n - y^n}{x - y}\right)$

Nyní uveďme pomocné tvrzení. Pro libovolná nesoudělná $a$ , $b$ a prvočíselné $p$ platí, že každý dělitel čísla $\frac{a^n + b^n}{a + b}$ je buď $n$ nebo je tvaru $kn + 1$ pro nějaké celočíselné $k$

Důkaz není tak obtížný a na požádání ho uvedu. Tady by ale zbytečně zabíral místo a činil celý text méně přehledným.

Nyní definujme pro celočíselné $a$ hodnotu $R(a)$ jako největší celé číslo takové, že $n$ nedělí $R(a)$ a současně žádný z dělitelů čísla $R(a)$ není tvaru $kn+1$ pro celočíselné $k$ .

Všimněme si že pro naši definici pak platí, že ať už jsou $a$ , $b$ libovolná nesoudělá čísla, tak $R\left(\frac{a^n + b^n}{a + b}\right) = 1$ . Dále si všimněme zjevného faktu $R(ab) = R(a)\cdot R(b)$

S využitím předchozího máme a vztahů (1) a (2):

- $R(x^2 - yz) = R(y^2 - zx) = R(z^2 - xy)$
- $R(x^2 + xy+y^2) = R(z^2 - xy)$

Díky symetrii v $x$ , $y$ a $z$ potom dostaneme zajímavý vztah (a zároveň definici pro $\gamma$ :
(3) $\gamma := R(x^2-yz) = R(y^2-zx) = R(z^2 - xy) = R(x^2 + xy+y^2) = R(y^2 + yz+z^2) = R(z^2 + zx+x^2)$

Zjevně pro každé $a$ platí, že $R(a)$ dělí $a$ , což dostaneme přímo z definice. Díky tomu máme, že $\gamma$ dělí $x^2 - yz$ a současně $\gamma$ dělí $x^2+xy+y^2$ , dělí i tedy jejich rozdíl, což je $y(x+y+z)$ . Vzhledem k nesoudělnosti $x$ , $y$ a $z$ a faktu, že $\gamma$ dělí $x^2-yz$ dostaneme:

(4) $\gamma$ dělí $x+y+z$

Protože $\gamma$ dělí $x+y+z$ a současně $\gamma$ dělí $z^2 - xy$ , musí $\gamma$ dělit též $z(-x-y) - xy = -(xy + yz + zx)$ . Proto s využitím (4) dostaneme:

(5) Definujme $g:=\gcd(x+y+z, xy+yz+zx)$ . Pak $\gamma$ dělí $g$ .

Hodnota $g$ je největší společný dělitel $x+y+z$ a $xy+yz+zx$ , proto $g$ dělí též $x(-x) + yz$ . Tedy $g$ dělí $x^2 - yz$ . Odsud plyne, že $R(g)$ dělí $R(x^2-yz) = \gamma$ . Přitom ale i $\gamma$ dělí $R(g)$ , protože už víme, že $\gamma$ dělí $g$ díky (5). Proto platí

(6) $\gamma = R(\gcd(x+y+z, xy+yz+zx))$

V tomto vlákně budu případně pokračovat. Nejprve bych ale poprosil, jestli by se někdo nepodíval, jestli není chyba v nějakém z těchto kroků. Já jsem to dotáhl až do "důkazu" Velké Fermatovy věty, takže někde chyba pravděpodobně je :D Jen jde o to ji najít. Za každé přečtení moc děkuju :)

check_drummer

liamlim_2 napsal(a):
Nyní uveďme pomocné tvrzení. Pro libovolná nesoudělná $a$ , $b$ a prvočíselné $p$ platí, že každý dělitel čísla $\frac{a^n + b^n}{a + b}$ je buď $n$ nebo je tvaru $kn + 1$ pro nějaké celočíselné $k$

Ahoj, nevidím nikde použití toho $p$ . Dále pro a=1, b=-1 dostaneme ve jmenovateli 0.

check_drummer · 15. 08. 2020 16:17

$\left(\frac{x^{3n} - y^{3n}}{x^3 - y^3}\right) (x^2 + xy + y^2) = (z^2 - xy) \left(\frac{z^{2n} - x^ny^n}{z^2 - xy}\right)\left(\frac{x^n - y^n}{x - y}\right)$

Pro x=1, y=1 dostanem 0 ve jmenovateli.

check_drummer · 15. 08. 2020 16:19

Proč platí tato rovnost?
$\left(\frac{x^{2n} - y^nz^n}{x^2 - yz}\right) (x^2 - yz) = (y^2-xz) \left(\frac{y^{2n} - x^nz^n}{y^2-xz}\right)$

liamlim_2

↑ check_drummer:

Pokud jsou $a$ , $b$ různá nesoudělná čísla a $p$ je prvočíslo větší nebo rovno 5, pak platí $\frac{a^p + b^p}{a + b}$ má pouze dělitele tvaru $kp+1$

liamlim_2 · 15. 08. 2020 16:42

↑ check_drummer:

Protože platí rovnost $x^{2n} -y^nz^n = z^{2n} - x^ny^n$ což dokážeme dosazením $z^n = -x^n-y^n$

liamlim_2 · 15. 08. 2020 16:43

↑ check_drummer:

$x$ a $y$ nemůžou být obě 1, protože pak z $x^n+y^n+z^n = 0$ dostaneme $2+z^n = 0$ , což není možné

liamlim_2 · 15. 08. 2020 16:51

Například $\frac{42^7 + 25^7}{67}$ má prvočíselné dělitele 60383, 2017, 29, z nichž všechny jsou tvaru $7k+1$ . To tvrzení pouze říká, že se nejedná o výjimku, ale že každý dělitel čísla tvaru $\frac{a^n+b^n}{a+b}$ pro prvočíselné $n$ je tvaru $kn+1$ .

check_drummer · 15. 08. 2020 17:36

↑ liamlim_2:
Je hodnota R(a) korektně definována? Tj. existuje vždy R(a), tj. nemohou být čísla splňující definici R(a) "neomezeně velká"?

liamlim_2 · 15. 08. 2020 17:51

$R(a)$ je definováno jako největší z dělitelů čísla $a$ splňující určitou vlastnost. Pokud tedy dělitelů čísla $a$ není nekonečně mnoho, vždy je $R(a)$ řádně definováno.

check_drummer · 15. 08. 2020 18:01

↑ liamlim_2:
V textu výše ale není uevdeno, že R(a) je dělitelem čísla a.

liamlim_2 · 15. 08. 2020 18:12

↑ check_drummer:

Ano to mi vypadlo, za to se omlouvám. Samozřejmě $R(a)$ musí být dělitel čísla $a$ . Chtěl bych opravit chyby a editovat text výše, možnost editace ale nevidím.

misaH · 15. 08. 2020 20:46 — Editoval misaH (15. 08. 2020 20:47)

↑ liamlim_2:

možnost editace ale nevidím

Pravý dolný roh okna - ty tam nemáš

Reagovat ... Editovat ... .... ?

liamlim_2 · 15. 08. 2020 21:25

↑ misaH:

Reagovat | Citace | Nahlásit | Přidat anketu | Označit téma jako vyřešené

Toto tam mám já. Možnost editace tam není

check_drummer · 15. 08. 2020 23:04

↑ liamlim_2:
Napiš do sekce "Přivolej si svého admina" nebo jak se to jmenuje. Každý by měl mít možnost editovat své příspěvky... Nemám rád nástroje, kde můžeš svůj příspěvěk jen smazat, ale nemůžeš ho editovat. Někdy to dává smysl, když na tebe jiní reagují, ale jak říkám, nemám to rád. :-)

check_drummer

liamlim_2 napsal(a):
Nyní definujme pro celočíselné $a$ hodnotu $R(a)$ jako největší celé číslo takové, že $n$ nedělí $R(a)$ a současně žádný z dělitelů čísla $R(a)$ není tvaru $kn+1$ pro celočíselné $k$ .

Pro k=0 získáme číslo 1 a to je dělitel každého čísla, takže R(a) není správně definováno. A i když vyloučíš případ k=0, tak je potřeba ukázat, že existuje nějaký kandidát na číslo R(a), které je dělitelné číslem, které není tvaru kn+1.

liamlim_2 · 16. 08. 2020 00:03

↑ check_drummer:

Sice jsem byl na matfyzu, ale už jsem se asi odnaučil přesnému vyjadřování :D Samozřejmě jsem myslel čísla tvaru $kn+1$ pro nenulové $k$ . Omlouvám se za mnoho nepřesností, příště si dám záležet, abych byl všude důsledný :D

check_drummer · 16. 08. 2020 01:59

↑ liamlim_2: Spíš je důležitější druhá část mé poznámky.

liamlim_2

lcm↑ check_drummer:Skutečně? Proč nemůžeme přirozeně pro případ že takový dělitel neexistuje dodefinovat $R(x) = 1$ pokud neexistuje žádný dělitel tvaru $kn+1$ ? Skutečně je to o tom, aby fungovalo vše jak má. Přirozeně platí $R(ab) = \textrm{lcm}(R(a),R(b))$ . Aby tato rovnost platila, potřebujeme $R(x) = 1$ pokud neexistuje dělitel tvaru $kn+1$

liamlim_2

Další krok v mém "důkazu" je dokázat indukcí, že pro libovolné přirozené $k$ máme:

$x^{3k} + y^{3k} + z^{3k} \equiv 3x^ky^kz^k\mod g^2$
$x^{3k+1} + y^{3k+1} + z^{3k+1} \equiv (3k + 1)(x+y+z)x^ky^kz^k\mod g^2$
$x^{3k+2} + y^{3k+2} + z^{3k+2} \equiv -(3k + 2)(xy+yz+zx)x^ky^kz^k\mod g^2$

kde $g = \gcd(x+y+z, xy+yz+zx)$

Ten důkaz je opravdu přímočará indukce s tím, že pokaždé využijeme toho, že $(x+y+z)(xy+yz+zx)\equiv 0 \mod g^2$ , $(x+y+z)^2\equiv 0\mod g^2$ a $(xy+yz+zx)^2 \equiv 0\mod g^2$

check_drummer · 16. 08. 2020 09:28

↑ liamlim_2:
Dodefinovat to můžeme, jen je potřeba to v definici R(a) uvést, aby ta definice byla korektní.

check_drummer · 16. 08. 2020 09:35

Z čeho plyne $R(ab) = R(a)\cdot R(b)$ ?

liamlim_2

↑ check_drummer:

To vlastně neplatí, ale ono se toto tvrzení skoro nikde nevyužívá, vlastně není vůbec potřeba. Dodefinování $R(a) = 1$ pokud $a$ nemá dělitel tvaru $kn+1$ bylo nezbytné.

Já jsem ten vzorec $R(ab) = R(a)R(b)$ použil pouze pro odvození vztahů

$R(x^2 - yz) = R(y^2 - zx) = R(z^2 - xy)$
$R(x^2 + xy+y^2) = R(z^2 - xy)$

Toto odvození ale plyne přímo z definice $R(a)$ a vztahů (1) a (2). Pokud by totiž například $R(x^2 + xy+y^2) \ne R(z^2 - xy)$ , pak musí existovat dělitel $R(x^2+xy+y^2)$ dělící pravou stranu rovnosti $\left(\frac{x^{3n} - y^{3n}}{x^3 - y^3}\right) (x^2 + xy + y^2) = (z^2 - xy) \left(\frac{z^{2n} - x^ny^n}{z^2 - xy}\right)\left(\frac{x^n - y^n}{x - y}\right)$ nebo dělitel $R(z^2-xy)$ dělící levou stranu této rovnosti. V obou případech dostaneme spor, neboť libovolný dělitel $R(a)$ není ani $n$ ani tvaru $kn+1$ a současně libovolný dělitel $\frac{a^n+b^n}{a+b}$ je buď $n$ nebo tvaru $kn+1$ , což se vzájemně vylučuje

Opravdu si přeji, abych mohl původní příspěvek zeditovat a opravit veškeré chyby a překlepy

check_drummer · 16. 08. 2020 10:01

Ještě mi není jasné toto:

liamlim_2 napsal(a):
Protože $\gamma$ dělí $x+y+z$ a současně $\gamma$ dělí $z^2 - xy$ , musí $\gamma$ dělit též $z(-x-y) - xy$ .

Matematické Fórum

#1 15. 08. 2020 13:31

Velká Fermatova věta

#2 15. 08. 2020 16:04 — Editoval check_drummer (15. 08. 2020 16:14)

Re: Velká Fermatova věta

liamlim_2 napsal(a):

#3 15. 08. 2020 16:17

Re: Velká Fermatova věta

#4 15. 08. 2020 16:19

Re: Velká Fermatova věta

#5 15. 08. 2020 16:38 Příspěvek uživatele liamlim_2 byl skryt uživatelem liamlim_2.

#6 15. 08. 2020 16:40 — Editoval liamlim_2 (15. 08. 2020 16:40)

Re: Velká Fermatova věta

#7 15. 08. 2020 16:42

Re: Velká Fermatova věta

#8 15. 08. 2020 16:43

Re: Velká Fermatova věta

#9 15. 08. 2020 16:51

Re: Velká Fermatova věta

#10 15. 08. 2020 17:36

Re: Velká Fermatova věta

#11 15. 08. 2020 17:51

Re: Velká Fermatova věta

#12 15. 08. 2020 18:01

Re: Velká Fermatova věta

#13 15. 08. 2020 18:12

Re: Velká Fermatova věta

#14 15. 08. 2020 20:46 — Editoval misaH (15. 08. 2020 20:47)

Re: Velká Fermatova věta

#15 15. 08. 2020 21:25

Re: Velká Fermatova věta

#16 15. 08. 2020 23:04

Re: Velká Fermatova věta

#17 15. 08. 2020 23:46 — Editoval check_drummer (15. 08. 2020 23:48)

Re: Velká Fermatova věta

liamlim_2 napsal(a):

#18 16. 08. 2020 00:03

Re: Velká Fermatova věta

#19 16. 08. 2020 01:59

Re: Velká Fermatova věta

#20 16. 08. 2020 05:03 — Editoval liamlim_2 (16. 08. 2020 05:12)

Re: Velká Fermatova věta

#21 16. 08. 2020 08:53 — Editoval liamlim_2 (16. 08. 2020 08:59)

Re: Velká Fermatova věta

#22 16. 08. 2020 09:28

Re: Velká Fermatova věta

#23 16. 08. 2020 09:35

Re: Velká Fermatova věta

#24 16. 08. 2020 09:47 — Editoval liamlim_2 (16. 08. 2020 09:48)

Re: Velká Fermatova věta

#25 16. 08. 2020 10:01

Re: Velká Fermatova věta

liamlim_2 napsal(a):

Zápatí