Matematické Fórum

Skrytý text:

Označíme-li jako počet rozklepnutých vajec do okamžiku, kdy poprvé k vajec po sobě je čerstvých, pak , kde je pravděpodobnost, že vejce je čerstvé.

Skrytý text:

Uvažujme hru, kdy před rozklepnutím každého vejce může hráč vsadit libovolnou částku na to, že ono vejce bude čerstvé. V případě výhry dostane , v opačném případě o vsazenou částku přijde. Střední hodnota výhry je , takže je to spravedlivá hra. (Střední hodnota čistého zisku je 0.)

Nyní uvažujme strategii spočívající v tom, že hráč vsadí na každé vejce 1 Kč + všechno, co vyhrál od posledního zkaženého vejce (popř. od začátku hry, pokud dosud žádné vejce nebylo zkažené). (K tomu potřebujeme předpoklad, že sázka v korunách může být libovolné reálné číslo.)

Příklad: na první vejce vsadí hráč 1 Kč. Pokud první vejce bude čerstvé, tak vyhraje 1/q Kč a na druhé vejce vsadí 1/q + 1 Kč. Pokud i druhé vejce bude čerstvé, dostane (1/q)*(1/q + 1) = 1/q^2 +1/q Kč a na třetí vejce vsadí 1/q^2 +1/q + 1 Kč. Pokud vejce n bude zkažené, tak přijde o vše, co vsadil dosud (tj. čistá ztráta ze všech dosavadních n tahů bude n Kč) a na další vejce vsadí opět 1 Kč.

Hra končí v okamžiku, kdy po sobě jdoucích vajec je čerstvých. Označme počet vajec rozklepnutých do tohoto okamžiku. Označme také čistý zisk hráče hned po rozklepnutí . vejce. Pro definujme . Protože hra je spravedlivá, platí pro všechna . Navíc je martingale.

Nyní přichází klíčový (netriviální) argument: s použitím teorie martingalů lze ukázat, že . (To neplatí pro všechny martingaly a všechny "stopping times" , ale zde jsou splněné podmínky, za kterých to platí.)

Na druhou stranu , což vyplývá z pravidel hry a zvolené hráčovy strategie.

Nyní pro dokončení důkazu stačí vzít střední hodnotu na obou stranách rovnosti.