Matematické Fórum

Saturday · 09. 01. 2008 19:13

Nevíte někdo, jak dokázat, že výraz n(n^2+2) je dělitelný třemi?

Zkoušel jsem se podívat, jak se to chová pro lichá čísla a jak pro sudá, ale to nepomáhá.. pak mě napadlo, že by to možná šlo přes nějaké kombinační číslo, ale pořád nic...

Děkuju za pomoc

Saturday · 09. 01. 2008 19:18

jsem hloupej... to jde taky dokázat matematickou indukcí (stačí výraz s n+1 vydělit výrazem s n)

@Lukee: Zrovna ted by se mi odkaz smazat hodil :D

Lukee · 09. 01. 2008 19:26

Já jsem to indukcí udělal takhle:

$n(n^2+2)$

Pro 1:

$1\cdot(1+2) = 3$ Zjevně platí

Pro n+1:

Předpokládáme $3|n(n^2+2)$ a dokazujeme
$3|(n+1)\left[(n+1)^2 + 2\right]\nl3|(n+1)(n^2 + 2n +3)\nl3|n^3 + 3n^2 + 5n + 3\nl3|(n^3+2n) + 3n^2 + 3n +3\nl3|n(n^2+2) + 3(n^2 + n +1)$

První část je předpoklad, druhá část je zřejmě dělitelná třemi.

Saturday · 09. 01. 2008 19:30

@Lukee: Nejsem si jistý, jestli jsi stihl přečíst můj druhý příspěvek :-[

Lukee · 09. 01. 2008 19:34

Přečetl jsem ho v průběhu psaní, tak už jsem to dopsal :-).

Už to tady nechám, třeba to někomu pomůže.

Kondr · 09. 01. 2008 19:52

Pěkných postupů vedoucích k cíli je víc, třeba:
1)
n(n^2+2)=n^2+2n=n^3-n+3n=(n-1)n(n+1)+3n
A=(n-1)n(n+1) je součin tří po sobě jdoucích čísel=>je dělitelný 3
B=3n je dělitelné 3
Zadaný výraz A+B je proto taky dělitelný 3.

2)
Pokud chceme ukázat, že je pro všechna n hodnota nějakého polynomu dělitelná číslem p, stačí pro nějaké k otestovat, že to platí pro čísla k, k+1, ... ,k+p-1. To znamená, že nám stačí tu dělitelnost ověřit pro -1,0 a 1.

No a pokud byste chtěli řešit další podobné příklady, pak je víc něž vhodné si něco počíst o kongruencích. Je to jednoduchý aparát, který v teorii čísel velmi usnadňuje život. A pokud vstřebáte Eulerovu větu (taky není moc složitá), tak se valná většina příkladů "dokažte že p dělí hodnotu výrazu ... " stává triviálními.

Saturday · 09. 01. 2008 20:44

@Kondr: Díky

1] Tak to jsem cestou musel přehlédnout, protože z (n-1)n(n+1) jsem měl na začátku a měl jsem to dokázat, ta část, kterou jsem psal je "podúloha"

2]

Pokud chceme ukázat, že je pro všechna n hodnota nějakého polynomu dělitelná číslem p, stačí pro nějaké k otestovat, že to platí pro čísla k, k+1, ... ,k+p-1. To znamená, že nám stačí tu dělitelnost ověřit pro -1,0 a 1.

Jednoduše proto, že z hlediska prvočíselných rozkladů jednotlivých členů polynomu se začnou rozklady "opakovat" (pokud děláme rozklad na prvočinitele polynomu pro hodnotu p a pro hodnotu k*p, kde k je celé číslo, tak pro hodnotu k*p najdeme k krát opakující se sekvenci prvočinitelů, co je v rozkladu pro hodnotu p), je to tak?

pročtu :-), tady je něco o té Eulerově větě: http://www.stud.fit.vutbr.cz/~xvasic11/projects/qm3.pdf

Kondr · 09. 01. 2008 21:14

k bodu 2): spíš bych to popsal jako důsledek této věty:

p|P(a)-P(a+p)

a,p jsou celá čísla, P polynom s celočíselnými koeficienty. S periodou p se proto opakují zbytky mod p, nikoliv rozklady.

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2008 19:13

Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#2 09. 01. 2008 19:18

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#3 09. 01. 2008 19:26

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#4 09. 01. 2008 19:30

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#5 09. 01. 2008 19:34

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#6 09. 01. 2008 19:52

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#7 09. 01. 2008 20:44

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

#8 09. 01. 2008 21:14

Re: Dělitelnost třemi u: n(n^2+2)

Zápatí