Matematické Fórum

↑ fariet:
Tak to je móc hezká úloha. Viděl bych to takto: jestliže populaci ve městě označím jako [mathjax]a_n[/mathjax] a populaci na vesnici jako [mathjax]b_n[/mathjax], kde [mathjax]n[/mathjax] označuje roky, tak rekurentní vyjádření populace ve městě je [mathjax]a_{n+1}=0{,}95a_n+0{,}03b_n[/mathjax].
Populace na začátku jsou [mathjax]a_0=b_0[/mathjax], celkem [mathjax]2a_0[/mathjax] a na vesnici je tedy [mathjax]b_n=2a_0-a_n[/mathjax]. Dosazením do předpisu pro město dostáváme
[mathjax2]a_{n+1}=0{,}95a_n+0{,}03(2a_0-a_n)=0{,}92a_n+0{,}06a_0.[/mathjax2]
Tu nejlepší část, odvození vzorce pro n-tý člen, prozatím ponechám na tobě ;-)

↑ fariet:
Ta poslední věta: tomu obecnému vzorci, pomocí kterého se z něčeho dopočítává něco dalšího, se říká MATEMATIKA.
A ten vzorec pro n-tý člen zkus tak, že si vyjádříš prvních pár členů pomocí [mathjax]a_0[/mathjax], pak už by to mohlo být jasné...

↑ fariet:
Tak označ třeba [mathjax]k[/mathjax] ten násobek, jímž se násobí kvůli úbytku ve městě (v našem případě 0,95) a [mathjax]l[/mathjax] násobek, jímž se násobí kvůli přílivu z vesnice (zde těch 0,03). Pak rekurentní rovnice je
[mathjax]a_{n+1}=(k-l)\cdot a_n+2la_0[/mathjax]
Zde bych si pro přehlednost přeznačil [mathjax]k-l=r[/mathjax] a [mathjax]2la_0=s[/mathjax]. Nyní si vypiš prvních pár členů posloupnosti
[mathjax]a_1=r\cdot a_0+s[/mathjax],
[mathjax]a_2=r\cdot (r\cdot a_0+s)+s=r^2a_0+rs+s[/mathjax],
[mathjax]...[/mathjax]
a z toho už (snad) odvodíš vzorec pro n-tý člen.

↑ kaja.marik:
Přečti si ten příspěvek. Z rekurentního vzorce snadno odvodíš vzorec pro n-tý člen a do něj stačí dosadit.

Jde o Markovův řetězec se 2 stavy, matice pravd. přechodu je:

    0,95   0,05
    0,03   0,97

Zkuste najít stacionární rozdělení.
Více o Markovových řetězcích je též na
    http://www.tucekweb.info/Matem/Vys_mat/MP&SP.html

↑ check_drummer:

Také tomu tak rozumím, že se mohou stěhovat neomezeně.
Když jsou ve městě, tak se příští rok na 5% přestěhují na vesnici, na 95% setrvají ve městě.
Pokud se přestěhují na vesnici, tak tam do dalšího roku na 97% setrvají, na 3% se přestěhují zpátky do města.

Stacionární rozdělení vyhovuje vztahu: (Pi1, Pi2) * matice pravd přechodů = (Pi1, Pi2)
Vyšlo mi Pi1= 3/8; Pi2= 5/8
Matice pravd. přechodů viz příspěvek dříve.