Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 07. 03. 2021 01:34
Vázané extrémy funkce
Dobrý den, mám určit vázené extrémy funkce:
[mathjax]g(x_{1},...,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}(x_{i})^a[/mathjax] (správně má být ještě [mathjax]x_{i}[/mathjax] na [mathjax]a_{i}[/mathjax], ale editor už to neuměl)
na množině [mathjax]\{[x_{1},...,x_{n}]|\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1\}[/mathjax] s nějakými exponenty [mathjax]a_{i}\ge 0\forall i[/mathjax]
To je doslovná citace.
Vím, jak najít vázané extrémy funkce zadané rovnicí pomocí Lagrangeových multiplikátorů, ale toto jsem nikdy neviděl ani jsem to nenašel. Napoví mi někdo, prosím?
Děkuji.
Offline
#2 07. 03. 2021 03:16
Re: Vázané extrémy funkce
↑ zn:
Ahoj, pokud [mathjax]g(x_{1},...,x_{n})=\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{a_i}[/mathjax], pak [mathjax]\frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{a_i}{x_i}g[/mathjax]
Resis teda soustavu rovnic [mathjax]\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1[/mathjax] a [mathjax] \frac{a_i}{x_i} g+\lambda=0[/mathjax] pro [mathjax]i=1,2,\dots,n,[/mathjax] nebo-li [mathjax]x_i=-\frac{g}{\lambda}\cdot a_i = k\cdot a_i.[/mathjax]
Sectenim vsech [mathjax]x_i[/mathjax] ziskas [mathjax]1=\sum_{i=1}^nx_i=k\sum_{i=1}^na_i[/mathjax], takze [mathjax]x_i = \frac{a_i}{\sum_{j=1}^na_j}.[/mathjax]
Offline