Matematické Fórum

zdeněk11 · 15. 03. 2021 21:49

Dobrý den,

narazil jsem při studiu na zvláštní případ a zajímalo by mě jak by se řešil. Již mám nějaké své řešení, ale moc mu "nevěřím" dělal jsem jej intuitivně, ale v zadání je doporučeno použít transformaci do polárních souřadnic.

Zadání:

[mathjax]y^{2}= x, x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},pro : a=3
[/mathjax]

Moje řešení:
[mathjax]
V=\int_{0}^{3}\int_{0}^{3}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{(9-x^{2}-z^{2})}}dy dxdz=
[/mathjax]

Ale nějak mi to hlava nebere, a přes pře polární tansformaci mě napadlo jen tohle:
průvodič: [mathjax] \varrho =\langle0;3\rangle [/mathjax]
úhel: [mathjax]\varphi =\langle\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4}\rangle [/mathjax]
výška: [mathjax]z=\langle0;3\rangle[/mathjax]

Děkuji všem řešitelům za pomoc.

mirek_happy24 · 16. 03. 2021 09:19

↑ zdeněk11:
Nechápu, proč ve Vašem řešení je u třetího integrálu nahoře odmocnina z [mathjax]9-z^{2}-z^{2}[/mathjax]... ??
Podle mě by tam mělo být [mathjax]9-z^{2}-x^{2}[/mathjax].
Pak by to bylo za mě dobře.

Placka03 · 16. 03. 2021 09:31

↑ zdeněk11:

Jak zní celé zadání?

surovec

[mathjax]V=4\cdot\int_{0}^{\frac{1}{2}\sqrt{2\sqrt{37}-2}}\int_{y^2}^{\sqrt{9-y^2}}\int_{0}^{\sqrt{9-x^{2}-y^{2}}}1\,\mathrm{d}z \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y[/mathjax]

zdeněk11 · 16. 03. 2021 10:20

↑ mirek_happy24:

vždyť tam mám [mathjax]\sqrt{9-x^{2}-z^{2}}[/mathjax]

zdeněk11 · 16. 03. 2021 10:21

↑ Placka03:

To je právě celé zadání, úkolem je vykreslit si obrázek, určit meze a integrovat. Cílem pak zjistit objem tělesa.

Placka03

↑ zdeněk11:

Můžeš si celé to těleso rozdělit na čtyři stejné části. Potom stačí spočítat objem jedné z nich a následně jej vynásobit čtyřmi.

Jedna z těchto částí je prostorová křivka [mathjax]f(x,y) = \sqrt{9-x^2-y^2}[/mathjax] nad oblastí vypadající takto.

Objem by poté šel spočítat pomocí dvojného integrálu takto: [mathjax]V = \iint_{I}f(x,y)dxdy[/mathjax].

Integrační oblast by se dala rozdělit ještě na dvě části, jak je to na obrázku výše.

Objem čtvrtiny tělesa se tedy rovná [mathjax]V = \iint_{A}f(x,y)dxdy + \iint_{B}f(x,y)dxdy[/mathjax], kde [mathjax]A[/mathjax] je část integrační oblasti před čárou na obrázku a [mathjax]B[/mathjax] je část za čárou.

Stačí tedy spočítat tyto dva integrály.

mirek_happy24 · 18. 03. 2021 07:56

↑ zdeněk11:Pardon, jak to bylo malé a neměl jsem brýle, šlo to špatně přečíst...

pjurec · 18. 03. 2021 14:13

↑ zdeněk11: Možná by mohlo pomoct tohle video, který právě řeší příklad výpočtu objemu pomocí trojnýho integrálu https://youtu.be/zYm-og_Rnp0

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2021 21:49

Určení integračních mezí

#2 16. 03. 2021 09:19

Re: Určení integračních mezí

#3 16. 03. 2021 09:31

Re: Určení integračních mezí

#4 16. 03. 2021 10:02 — Editoval surovec (16. 03. 2021 10:10)

Re: Určení integračních mezí

#5 16. 03. 2021 10:20

Re: Určení integračních mezí

#6 16. 03. 2021 10:21

Re: Určení integračních mezí

#7 16. 03. 2021 13:39 — Editoval Placka03 (16. 03. 2021 15:13)

Re: Určení integračních mezí

#8 18. 03. 2021 07:56

Re: Určení integračních mezí

#9 18. 03. 2021 14:13

Re: Určení integračních mezí

Zápatí