Matematické Fórum

Ahoj, použil bych vztah pro gravitační potenciál

[mathjax]\displaystyle\chi=-\int\kappa\frac{{\rm d}m}{r}[/mathjax]

a zavedl hustotu hmotnosti [mathjax]\mu={\rm d}m/{\rm d}S[/mathjax], kde [mathjax]{\rm d}S[/mathjax] je plocha prstence o šířce [mathjax]{\rm d}x[/mathjax].

No, logika mi říká, že na povrchu by měla být gravitace prakticky nulová - příspěvky ze všech stran se vzájemně zruší. Je to tak?

Podle mě je to nesmysl. Vyruší se akorát příspěvky co míří do stran, ale ty co míří ve směru kolmém na desku né.

Vektor gravitační inteznity (zrychlení) zachovává svůj tok, stejně jako vektor elektrické intenzity. Takže nemůže být na povrchu desky nulový a kousek nad ní začít přibývat na velikosti. Vektor nemůže "vzniknout z ničeho", musí tam "dotéct".

Intenzita pole může se vzdáleností od desky jen klesat, jak se zvětšuje prostor, do kterého se může tok vektoru "rozlévat". Je to úplně stejné jako když by vytékala nějaká skutečná tekutina, tak tok její rychlosti se taky musí zachovávat, nemůže vzniknout z ničeho uprostřed prázdného prostoru. U kapaliny je to jasné, co do myšlené oblasti vteče, musí také vytéct. U toku vektoru gravitačního pole je to stejné ... co vyteče, musí jinde vtéct dovnitř. Nemůže to vzniknout z ničeho (ve vakuu).

Takže když si představíme velmi nízký a dost široký válec umístěný někde kousek nad naší hmotnou deskou, tak co do válce spodkem vteče, to vrškem vyteče. Z čehož je hned vidět, že dokud se pole nemůže "rozlézt" do boku, velikost vektoru musí zůstávat konstantní, aby zachovával svůj tok.

Souhlasím s Michalem. Ta deska s nulovou tloušťkou bude mít nulovou hmotnost (pokud nebude mít nekonečnou hustotu).
Měření v otvoru uvnitř desky nenulové tloušťky už je jiná úloha.

Ještě trochu napovím...

Máme vypočítat potenciál na ose ([mathjax]z[/mathjax]), která prochází středem desky. Její poloměr označme [mathjax]R[/mathjax].
Na desce si vyznačíme prstenec o šířce [mathjax]{\rm d}r[/mathjax], jeho plocha je [mathjax]{\rm d}S=2\pi r \,{\rm d}r[/mathjax].
Na ose [mathjax]z[/mathjax] vybereme libovolný bod, jeho vzdálenost od prstence je [mathjax]\sqrt{z^2+r^2}[/mathjax].
Potenciál v tomto bodě je

     [mathjax]\displaystyle\chi=-\int_0^R\kappa\,\frac{{\rm d}m}{\sqrt{z^2+r^2}}[/mathjax].

Použijeme plošnou hustotu hmotnosti [mathjax]\mu={\rm d}m/{\rm d}S[/mathjax].
Pro řešení integrálu volíme substituci [mathjax]a=z^2+r^2[/mathjax].

Nakonec určíme velikost intenzity gravitačního pole:

     [mathjax]\displaystyle E=-\frac{{\rm d}\chi}{{\rm d}z}[/mathjax].

Edit.: Doplněno minus v posledním rovnici.

Vypočítat nejdříve potenciál bývá většinou dobrá cesta, ale nemusí to tak být vždycky. Zejména když potřebujeme hodnotu pole v jediném bodě, může být jednodušší počítat rovnou intenzitu pole - integrál je sice složitější, ale stačí jej spočítat v jednom bodě. Zatímco potenciál musíme spočítat i v okolních bodech (musíme tam mít tu z-osu, podle které potom budeme derivovat).

Ale v tomto případě (když potřebujeme počítat pole přímo na desce) jsou oba přístupy "divné" ... protože my vlastně intenzitu na povrchu nekonečně tenké desky spočítat nedokážeme, můžeme ji spočítat jen nějaký malý kousek nad tou deskou. V případě použití potenciálu zjistíme, že derivace přímo na povrchu desky neexistuje, a když budeme počítat přímo intenzitu, zase zjistíme, že neexistují příspěvky v z-ovém směru.

V obou případech musíme spočítat pole ve výšce z nad středem desky, a potom teprve udělat limitu pro z->0. A obojí je dost pracné.

Nejjednodušší cesta, jak se dopracovat k výsledku je využít Gaussovu větu elektrostatiky. Z Coulombova zákona

[mathjax] E={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r^{2}}}[/mathjax]

lze přímo odvodit Gaussův vztah

[mathjax]\oint _{S}{{ {E}}\cdot \mathrm {d} S}={\frac {Q}{\varepsilon }}[/mathjax]

To samé můžeme udělat pro Newtonův gravitační zákon, jen nesmíme zapomenout, že v gravitačním zákoně není to [mathjax]4 \pi[/mathjax], takže se to pak objeví v tom "Gaussově" vztahu:

[mathjax]\oint _{S}{{ {G}}\cdot \mathrm {d} S}=4 \pi \kappa m[/mathjax]

Vztah tedy říká, že tok vektoru intenzity gravitačního pole přes libovolnou uzavřenou plochu je úměrný hmotnosti, která je uvnitř. Obecně to k výpočtu gravitačního pole nestačí, a museli bychom přidat ještě jeden vztah, ale v jistých případech, které vykazují vhodné symetrie, to použít lze.

A to je zrovna náš případ. Víme, že deska je kruhová, takže vektor pole přesně uprostřed té desky musí mířit kolmo na ni. Nemůže mířit do strany, protože by "nevěděl na kterou stranu". A nyní si zvolíme plochu ve tvaru válce. Polovina válce bude nad naší hmotnou deskou, polovina pod ní. Zcela symetricky...válec bude velmi nízký, takže tokem pole boky válce se nemusíme vůbec zabývat.  A tok přes horní a spodní stranu bude celkem jednoduše G*S, kde S je plocha podstavy toho válce. Nesmíme zapomenout, že plochy jsou dvě, jedna nahoře, jedna dole...

[mathjax]2GS = 4 \pi \kappa m[/mathjax]

a hmotnost můžeme vyjádřit jako součin plošné hustoty a plochy, tedy

[mathjax]2GS = 4 \pi \kappa \sigma S[/mathjax]

Po vykrácení S dostáváme jednoduchý výsledek

[mathjax]G = 2 \pi \kappa \sigma [/mathjax]

Sice obsahuje dost řeckých písmenek, ale jinak je to jednoduchý vztah, že pole je úměrné plošné hustotě hmoty. (měl bych ještě uvést, že plochu S jsme si zvolili také velmi malou, aby v rámci ní bylo G konstantní, ale pořád mnohem větší, než je výška toho válce.)

Takže výpočet je nakonec úplně jednoduchý, mnohem komplikovanější je ta argumentace kolem. U elektrického pole je to jednodušší, protože zpravidla řešíme pole nad vodičem, a ve vodiči se náboje vždy uspořádají tak, že je uvnitř nulová intenzita. U gravitačního pole ovšem žádné "vodiče" neexistují, takže postup není zdaleka tak obecný, a celý stojí jen na té symetrii situace, která platí jen uprostřed té kulaté desky.

Pole této hodnoty není samozřejmě jen přímo na povrchu desky, ale i v nějaké malé vzdálenosti nad ní ... nakonec i při pohledu na integrál co napsal Mirek2 je vidět, že to dává jeden výsledek pro z<<R, a druhý pro z>>R, a v těchto hraničních případech si můžeme i ten integrál zjednodušit (akorát že nemůžeme, protože tam potřebujeme to z, takže ho nemůžeme zanedbat). Ale reálný smysl počítat ten integrál by byl, když bychom potřebovali znát pole v té "přechodové vzdálenosti", tedy ve vzdálenosti kdy z je srovnatelné s R. Ve velké vzdálenosti můžeme desku považovat za bod, a v malé zase za nekonečnou desku...


Ještě k tomu PI, co se objeví ve výsledku ... já předpokládám, že první verze Coulombova zákona tam žádné PI taky neměla, stejně jako Newtonův gravitační zákon. Ale brzy byly objeveny i Maxwellovy rovnice, a buď musíme mít PI v Coulombově zákoně, nebo v Maxwellových rovnicích ... a že to PI není vlastnost elektromagnetické interakce samotné, ale pochází z vlastnosti prostoru (povrch kulové plochy). Jenže úplně se ho zbavit prostě nemůžeme ... takže se zahrnulo do hodnoty permeability.

Vybudovat teorii pole pro gravitaci se ovšem dlouho nedařilo, podařilo se to až Einsteinovi, tedy mnohem později, takže hodnota té gravitační konstanty už zůstala taková, že to PI obsahuje, naproti tomu už se zase vědělo, že permeabilita vlastně žádná konstanta není, že je to jen schovaná rychlost světla (a to PI), takže v teorii gravitace žádná "gravitační permeabilita" není.