Matematické Fórum

smonty · 18. 11. 2009 00:48

Ahoj, mám tu pár otázek ohledně polynomů. Evidentně jsou to takové triviality u kterých se důkazy ani neuvádějí. Já bych o ně poprosil. :-)

1) Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. (kde 0 je index)
2) Nechť má polynom an = 1 jen reálné nebo po dvou komplexně sdružených kořenech. Proč pak má všechny koeficienty reálné?
3) Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájemně různých kořenů?
4) Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n+1 ruznych bodech?

Diky.

Marian · 18. 11. 2009 22:02

↑ smonty:
(1) Předpokládejme, že polynom
$P(x):=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0\in\mathbb{Z}[x]$
má celočíselný kořen $c\in\mathbb{Z}$ . Pak platí $P(c)=0$ a tudíž také
$0=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+\cdots +a_1c+a_0.$

Odtud ale
$a_0=-c(a_nc^{n-1}+a_{n-1}c^{n-2}+\cdots +a_1)\qquad\Rightarrow\quad c|a_0,$
jak jsme chtěli dokázat.

(2) Má-li polynom (a_n=1) jen reálné nebo po dvou komlexně sdružené koeficienty, pak vynásobením dvou faktorů, jejichž kořeny jsou vzájemně komplexně sdružená čísla, pak součin těchto faktorů dostaneme polynom s reálnými koeficienty. Budu-li takto násobit příslušné dvojice a nakonec je vynásobím faktory, kt. mají reálné kořeny, pak musíme obdržet polynom s reálnými koeficienty.

(3) Dokaž sporem.

(4) Relativně snadné, pokus se to rozvést samostatně.

smonty · 19. 11. 2009 23:50

↑ Marian:
(1) Elegantní - smekám :-)
(2) Jde to do mě stuha. Nedalo by se to říct jinak? Pro hůře chápající?
(3) Pakliže se pletu, opravte mne prosím:
mám polynom p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_n x^n kde n = 2k - 1 kde k náleží N. tento polynom je tedy lichého stupně, který musí mít více jak 1 reálný kořen.
mám lichý polynom prvního stupně x = 0 který podle mého tvrzení musí mít více jak 1 reálný kořen, což je spor protože tento polynom má jeden kořen a to nulu.
(4) Netuším ve kterých bodech? Bod = kořen? (to asi ne), Bod = koeficient? (to asi taky ne)

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2009 00:48

polynomy

#2 18. 11. 2009 22:02

Re: polynomy

#3 19. 11. 2009 23:50

Re: polynomy

Zápatí