Matematické Fórum

Slaby_matematik · 20. 01. 2008 13:22

Reste rovnici v oboru komplexnich cisel
x^4 + 2x^2 + 4 = 0:

dekuji za pomoc

thriller

$x^2_{1,2} = -1 \pm i \sqrt{3}$ , ted uz staci toto komplexni cislo odmocnit..

Slaby_matematik · 20. 01. 2008 17:44

Mohla bych poprosit i o postup, diky moc, komplexni cisla nejsou ma oblibena:-(

plisna · 20. 01. 2008 17:54

zavedme substituci $x^2 = t$ a dostaneme rovnici $t^2+2t+4=0$ , jejiz koreny jsou $t_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4\cdot 1 \cdot 4}}{2}=-1 \pm \sqrt{3}i$ , nezapomen se vratit zpet k substituci.

Slaby_matematik · 20. 01. 2008 18:17

tak jestli to chapu spravne tak se -12 pod odmocninou napsalo jako odmocnina a 3*4*i^2, i na druhou je -1, s tim, ze se odmocnila dvojka a to i^2 a zustalo tedy √3*i a pote mam jeste cely vyraz -1+√3*i a druhy -1-√3*i odmocnit. Nevim jak presne na to, odmocnina z -1 nejde, tak leda, ze bych si z toho zase udelala i^2, ale to asi neni dobry napad. Jak prosim tedy dale... diky

plisna · 20. 01. 2008 18:45 — Editoval plisna (20. 01. 2008 18:46)

to s tim odmocnenim chapes dobre. aby jsi mohla spocitat tu odmocninu, tak si musis prevest dane komplexni cislo na goniometricky tvar: $t_1 = -1-\sqrt{3}i = 2 \left( \cos \frac{4 \pi}{3} + i \sin \frac{4 \pi}{3} \right)$ a hledame $x_1 = \sqrt{t_1} = \sqrt{2} \left( \cos \frac{2 \pi}{3} + i \sin \frac{2 \pi}{3} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$ , korenem je i komplexne sdruzene cislo $x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$ , analogicky ziskas zbyvajici dva koreny $x_3, x_4$ .

sunny · 21. 01. 2008 03:50 — Editoval sunny (21. 01. 2008 03:54)

zdravim, mam podobny priklad, ale nejsem si jisty. Prosim o kontrolu - Potrebuji vysledek vyjadrit v algebraickem tvaru.

$3x^4+6x^2+4=0$

zavedu substituci $x^2=t$ a dostanu rovnici $3t^2+6t+4=0$ , jejiz koreny jsou $t1,2=\frac{-6\pm\sqrt{36-4\cdot3\cdot4}}{6}=-1\pm\sqrt3i$

nechapu ten vypocet odmocniny s prevodem na goniometricky tvar... bude postup analogicky? Jak presne vypada vysledek v algebraickem tvaru?

dekuji za pomoc

plisna · 21. 01. 2008 18:52 — Editoval plisna (21. 01. 2008 18:53)

u vypoctu korenu $t_{1,2}$ mas chybu, zkus si to zkontrolovat, vyjde $t_{1,2}= -1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}i$ . vezmeme treba koren $t_1 = -1+\frac{\sqrt{3}}{3}i$ . nyni jej prevedeme na goniometricky tvar: $t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \left( \cos \frac{5\pi}{6}+i\cdot \sin \frac{5\pi}{6} \right)$ , pokud ti dela tento prevod problemy, zkus mrknout treba na wikipedii. pak uz zbyva jeste toto cislo odmocnit: $\sqrt{t_1}= t^{1/2} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}} \left( \cos \frac{5\pi}{6}\cdot \frac{1}{2}+i\cdot \sin \frac{5\pi}{6}\cdot \frac{1}{2} \right)$ .

Slaby_matematik · 21. 01. 2008 21:03

ahoj Plisno, diky za radu, protoze moc nerozumim odkud se berou ty cos 4π/3 atd, tak jsem si to sla nacist a vyvozuji tedy spravne toto:
ze u teto operace 2*(cos 4π/3 + i sin 4π/3) jsi prisel na to takto:

nezdriv si zjistim tzv. cislo z, ktere spoctu jako odmocninu z (-1)^2 plus (√3)^2, tedy celkove jako √4 coz je 2, toto cislo se napise pred zavorku.
nasledne pro stanoveni cos α a i sin α vychazim ze vztahu cosα = x/r, kde r je absolutni hodnota z cisla z,a x je slozka koplexniho cisla, pro nas tedy -1, vyjde mi, ze cos α je -1/2 coz plati pro hodnotu jak 240 stupnu tak 150 stupnu, ale protoze jsou obe slozky komplesniho cisla zaporne zaradime argument do 3 kvadratu, kam tedy spada 240stupnu a proto pro 240 stupnu je to cos 4π/3.

Diky

plisna · 21. 01. 2008 21:09

je to presne tak, jak pises :)

Slaby_matematik · 21. 01. 2008 22:21

OK diky, tak aspon neco:-), jen jeste prosim takova drobnost, pro ten koren t2=-1+√3i, je zase z=2 a pokud vyjdu ze vztahu pro cosα = x/r, tak mi zase vyjde, ze to muze byt pro 240 nebo 150 stupnu, ted ale druha slozka komlexniho cisla je kladna a mel by to byt podle me sin √3/2 coz vychazi 60 a 120 stupnu. Jedna slozka je tedy kladna a druha zaporna, podle ceho ted vyberu jake stupne? abych vytvorila cos π lomeno neco. dekuji

plisna · 21. 01. 2008 23:16

a neni lepsi si nakreslit dane komplexni cislo do gaussovy roviny a pak ten uhel snadno spocitat?

Slaby_matematik · 21. 01. 2008 23:38

je tak zakreslit obrazek neumim, asi si teda pujdu zase neco nacist:-(

Slaby_matematik · 22. 01. 2008 22:33

Mam prosim prosbu:
jak jsem uvadela v privnim pripade: pro x1 = -1-√3*i , ze pro prvni slozku komplexniho cisla vychazi x/z = -1/2 coz plati pro hodnotu jak 240 stupnu tak 150 stupnu, tak pro druhou slozku vychazi hodnota - √3/2 , coz odpovida sinu 240 a 300 stupnu, obe hodnoty jsou zaporne a tak se komplexni cislo nachazi ve 3 kvadrantu a pro obe slozky tomu odpovida 240 stupnu, takze vyraz ma podobu: 2*(cos 4π/3 + i sin 4π/3).

v druhem pripade: pro x3=-1+√3*i , je z=take 2, prvni slozka ma podobu x/z = -1/2 coz plati pro hodnotu jak 240 stupnu tak 150 stupnu, tak pro druhou slozku vychazi hodnota √3/2 , coz odpovida sinu 60 a 120 stupnu. Jedna slozka komplexniho cisla je kladna a druha zaporna, pokud bych si cislo nakreslila, bylo by podle me v 2 kvadrantu. Tomu by odpovidala hodnota 150 stupnu pro cosinus a 120 stupnu pro sinus. V prvnim pripade pripadala shodna hodnota 240, zde ne. Je tedy mozne aby vyraz mel tuto podobu:

2*(cos 5π/6 + i sin 2π/3) ? a po uprave √t2 = √2*(cos 5π/6 * 1/2 + i sin 2π/3 * 1/2) = √2*( -1/2 * 1/2 + i √3/2 * 1/2) =
=√2*( -1/4 + i √3/4) = -√2/4 + i ((√2*√3)/4).

Prosim pokud je to spatne, coz je dobre mozne:-), muze mi nekdo prosim prozradit spravny vysledek a vysvetlit mi, kde delam chybu?
Dekuji moc a preji hezky vecer

plisna · 22. 01. 2008 22:46

moment, nakreslim obrazek...

plisna · 22. 01. 2008 23:05 — Editoval plisna (22. 01. 2008 23:07)

tak koukni na obrazek, ktery jsem namaloval. je v nem znazorneno komplexni cislo $-1-\sqrt{3}i$ v gaussove komplexni rovine: na vodorovnou osu se vynasi realna cast daneho komplexniho cisla, v nasem pripade -1 a na svislou osu komplexni cast, tedy v nasem pripade $-\sqrt{3}$ . nasim cilem je napsat komplexni cislo v goniometrickem tvaru $|z|(\cos \alpha + i\cdot \sin \alpha)$ . urceni velikosti |z| ti nedela problem, ale ten uhel alfa ano. kdyz kouknes to obrazku, tak uhel alfa je ten ZELENY, ten potrebujeme urcit. je to uhel, ktery "startuje" od realne osy smerem proti hodinovych rucicek k nasemu komplexnimu cislu. ten zeleny uhel muzeme ovsem vyjadrit jakozto $\pi$ + CERVENY uhel a pro cerveny uhel muzeme psat $\tan \,\text{CERVENY} = \frac{\sqrt{3}}{1}$ , coz je videt z obrazku z toho trojuhelniku. toto je jiz tabulkova hodnota, takze uhel CERVENY = pi/3 a tedy uhel ZELENY = pi + pi/3 = 4pi/3. nyni jiz muzeme psat goniometricky tvar komplexniho cisla. tento koren jsi prevedla spravne, ale u toho druheho mas prave ten uhel spatne, tak to zkus pomoci postupu, ktery jsem popsal, je podle mne velmi snadno zapamatovatelny a intuitivni.

Slaby_matematik · 22. 01. 2008 23:34

Diky moc za obrazek, asi jsem natvrdla ale neni mi jasne toto:
CERVENY = pi/3 a tedy uhel ZELENY = pi + pi/3 = 4pi/3. pokud sectu pi cervene a 2 pi zelene mam 3 pi, proc je tam tedy ctyri pi?

Jak mas to zvyraznene v bilem ramecku u toho cerveneho uhlu √3/1 to jako je imaginarni cast deleno realna a to je ta tabulkova hodnota?
Ja vim, ze, kdyz to cislo -1+√3*i nakreslim do obrazku, tak ze budu v druhem kvadrantu(tedy bude nekde mezi 90-180 stupni, dle me..

Jaky pro nej tedy presne pripada uhel?

Nelze tedy hodnotu uhlu vyvozovat z vypoctu pro cos -1/2 a pro sinus √3/2?

diky moc

plisna · 22. 01. 2008 23:50

zeleny uhel dostanu tak, ze vezmu pi (tj. 180°) a prictu k tomu cerveny, ale cerveny prece neni pi, cerveny je pi/3, pak tedy pi + pi/3 = 4pi/3. je to jasnejsi?

kdyz pocitam ten cerveny uhel, tak si pro nej napisi vztah tangens: $\tan\,\text{ CERVENY } = \frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$ , coz je tabulkova hodnota pi/3. kdyz stanovujes ten tangens, tak uz te nezajimaji znamenka, jen velikost stran toho trojuhelniku z obrazku.

kdyz si nakreslis do obrazku cislo $-1+\sqrt{3}i$ , tak skutecne bude ve II. kvadrantu, pokus se tedy pro nej spocitat zeleny uhel, doplnek zeleneho uhlu do 180 stupnu si oznac jakozto cerveny uhel a pak zeleny = pi - cerveny a cerveny opet urcis pres tangens z pravouhleho trojuhelnika.

Slaby_matematik · 23. 01. 2008 00:06

Takze cerveny je zase tg √3/1, coz je √3 a to je pi/3, pote pi - pi/3 = 2pi/3 coz je 120 stupnu.

Vypada tedy potom vyraz takto

2*(cos2π/3+ i sin 2π/3) a po uprave √t2 = √2*(cos 2π/3 * 1/2 + i sin 2π/3 * 1/2) = √2*( -1/2 * 1/2 + i √3/2 * 1/2) =
=√2*( -1/4 + i √3/4) = -√2/4 + i ((√2*√3)/4)?

diky

Kondr · 23. 01. 2008 02:10

Výsledek je dobře, jen bych ještě doplnil, že druhou odmocninu z a+bi je někdy výhodné počítat takto:
(c+di)^2=a+bi, porovnáním reálné a imaginární složky dostáváme dvě rovnice:
c^2-d^2=a
2cd=b
4c^2d^2=b^2
4c^2(c^2-a)=b^2
$c^2=\frac{4a\pm\sqrt{16a^2+16b^2}}{8}$
Přitom kořen s - není reálný, proto
$c^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
$d^2=c^2-a=\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}$
Přitom musíme vybrat tu dvojici c,d, pro kterou je 2cd=b (tedy pozor na znaménka).

Matematické Fórum

#1 20. 01. 2008 13:22

Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#2 20. 01. 2008 14:37 — Editoval thriller (20. 01. 2008 14:38)

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#3 20. 01. 2008 17:44

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#4 20. 01. 2008 17:54

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#5 20. 01. 2008 18:17

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#6 20. 01. 2008 18:45 — Editoval plisna (20. 01. 2008 18:46)

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#7 21. 01. 2008 03:50 — Editoval sunny (21. 01. 2008 03:54)

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#8 21. 01. 2008 18:52 — Editoval plisna (21. 01. 2008 18:53)

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#9 21. 01. 2008 21:03

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#10 21. 01. 2008 21:09

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#11 21. 01. 2008 22:21

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#12 21. 01. 2008 23:16

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#13 21. 01. 2008 23:38

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#14 22. 01. 2008 22:33

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#15 22. 01. 2008 22:46

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#16 22. 01. 2008 23:05 — Editoval plisna (22. 01. 2008 23:07)

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#17 22. 01. 2008 23:34

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#18 22. 01. 2008 23:50

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#19 23. 01. 2008 00:06

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

#20 23. 01. 2008 02:10

Re: Reste rovnici v oboru komplexnich cisel

Zápatí