Matematické Fórum

Sestavíš si vektory souřadnic - (0, 1, 2), (1, 3, 0), (-1, 0, 1), (0, -3, 2), dáš je do matice po řádcích a budeš dělat G eliminaci. Pokud ti nějaký řádek vypadne, tak jsou LZ jinak LN. Každopádně pokud to má být v obecnosti, tak LZ/LN závisí na charakteristice tělesa. Není řečeno, že to má být vyšetřeno jen v R, takže bys měl udělat eliminaci ještě nad tělesem zbytkových tříd modulo prvočíslo.

↑ Merlí:
Ten postup se mi líbí, ale nějak nemůžu vyčíst, kde jsi přišel na ty vektory...?

↑ Fangorn:
Ahoj. Jsme na prostoru polynomů stupně nejvýše dva. Tím pádem v našem případě jsou vektory ty polynomy. Protože jsme na vektorovém prostoru konečné nenulové dimenze, má ten prostor nějakou bázi, a každý polynom (byvše vektorem toho prostoru) se tedy dá vyjádřit jako nějaká lineární kombinace té báze. No, tak si zvolme třeba takovouhle bázi (jednotlivé vektory báze označím e s pořadovým indexem):
.

Potom platí, že souřadnice vektoru p1 v té bázi jsou (0,1,2). To můžeme snadno ověřit. Když , potom hodnota polynomu p1 v nějakém bodě x je rovna - ta prostřední rovnost plyne z definice sčítání a násobení polynomů. Takže je to pravda. Analogicky můžu zapsat souřadnice těch ostatních polynomů v té zvolené bázi, a lineární závislost/nezávislost pak vyšetřím stejně jako na prostoru n-tic.

Je to jasné? Prostě je potřeba se oprostit od představy, že vektory jsou n-tice čísel. Obecně to tak není, v definici vektorového prostoru je řeč pouze o neprázdné množině prvků. Pokud je to množina brambor, pak jsou brambory vektory. U nás jsou to polynomy.

Edit: teď jak jsem si přečetl reakci rychlejšího Merlího mi došlo, že jsem nakonec zapomněl upozornit na tu Stývovu poznámku, která to v tomhle případě opravdu vyřeší okamžitě a bez počítání. Tak to ještě napravuju.