Matematické Fórum

↑ ondar: Jde zřejmě (záměrně bych využil dvojsmyslnosti tohoto vyjádření) o vektorový prostor polynomů, tedy a jsou polynomy, tedy pod se míní funkční hodnota polynomu v bodě .

↑ ondar:
Spočítáme skalární součin třeba prvních dvou vektorů té báze, ano?
Ať tedy p(x)=x^2+1 a q(x)=x^2-1. Skalární součin těchto dvou polynomů se vypočítá z funkčních hodntot těchto polynomů. Takže si je vypíšeme zvlášť:

p(-1)=(-1)^2+1=2
q(-1)=(-1)^2-1=0
p(0)=0^2+1=1
q(0)=0^2-1=-1
p(2)=2^2+1=5
q(2)=2^2-1=3

Teď tedy skalární součin těch polynomů: (p,q)=2*0+1*(-1)+2*5*3=29.

Je teď jasné jak spočítat ten skalární součin dvou polynomů?

↑ ondar:
Já ti jen ukazuju co to znamená, když je skalární součin zadanej takhle. Pokud jde o to, které vektory budeš skalárně násobit a co budeš dělat s výsledky, to jsem pochopil že víš. Takže jsem ti na ukázku vynásobil dva vektory (a vzal je z té tvé báze, abych si je nemusel vymýšlet), a vynásobil je spolu - a v tom opravdu ten třetí roli nehraje :-)

ten skalární součin využiješ až na to, aby jsi zaručil ortogonalitu těch vektorů.
V té zadané bázi F máš tři vektory,  u1=(1 0 1), u2 = (1 0 -1), u3 = (0 1 0).
A hledáš vektory v1,v2,v3.
Takže nejdřív položíš u1=v1.
v2 = u2 + a*v1=(1+a,0,-1+a)
a teď využiješ ten skal.součin, bo se ti musí platit v2*v1=0, aby byly ortogonální. Tím zjistíš "a" a pak jen dosadíš a máš vektor v2.
takže:
2*0 + 1*( -1 - a)  + 2*0 + 2*5*(3 + 3a) = 0
a = -1
takže ten vektor v2 = (0, 0, -2)
v3 = u3 + b*v2 + c*v1
a stejně jako ten v2, akorát máš dvě neznámé, "b" a "c", takže použije dva skal.součiny: v1*v3=0 a v2*v3=0.
ortonormální vektory z nich pak uděláš tak, že je podělíš normou.