Matematické Fórum

jarrro · 06. 01. 2010 14:40

ahoj napadlo ma ,že aký je vlastne rozdiel medzi $\sum_{r\in\mathbb{R}}{f\left(r\right)}$ a $\int_{-\infty}^{\infty}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}$
mne sa zdá,že pre spojité funkcie definované na celom R je to ekvivalentné a rozdiel je len pri nespojitých funkciách kde suma nemusí existovať a integrál môže snáď zase nepíšem nejaké bludy ako je u mňa zvykom

Olin · 06. 01. 2010 14:50

Můžu vědět, co symbol $\sum_{r\in\mathbb{R}}{f\left(r\right)}$ vyjadřuje? Jak je definován?

jarrro · 06. 01. 2010 14:55

↑ Olin:súčet všetkých funkčných hodnôt funkcie f

lukaszh

↑ jarrro:
Takú sumu nepoznám. Množina R je nespočítateľná. Ako potom niečo sčitovať? Ak máš predtuchu, že ich hodnoty sa rovnajú, tak nie. Keby sme zobrali jednoducho len $[1,+\infty)$ , potom napríklad pre funkciu $f(x)=1/x^2$
$\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\rm{d}x=1$
Ak si zoberiem tú sumu a sčítam napríklad len cez prirodzené čísla, tak
$\sum_{n\in\mathbb{N}}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$
Myslím, že pre ľubovoľnú nenulovú funkciu nadobúdajúcu kladné funkčné hodnoty je tebou zadaná suma $\infty$ . No neviem, nepoznám však taký zápis. Podotýkam, že sčitovať indexovo cez niečo, čo je nespočítateľné sa podľa mňa nedá. Počkám si na názory ostatných.

Rumburak

↑ jarrro:

1. Symbol
(1) $\sum_{x\in M}f(x)$
má zřejmý význam, pokud množina M je konečná.

2. Není-li M konečná a je-li f >= 0, pak (1) je definován jako supremum množniny všech čísel tvaru $\sum_{x\in K}f(x)$ ,
kde K probíhá všechny konečné podmnožiny množiny M.

3. Není-li M konečná a nabývá-li f (též) záporných hodnot, pak (1) definujeme jako

$\sum_{x\in M}f^+(x)\,\, -\,\, \sum_{x\in M}f^-(x)$ ,

pokud tento výraz má smysl (s ohledem na algebraické operace se symboly +oo, -oo).
(Přitom $a^+ \,:= \max \{a, 0\}$ , $a^- \,:= \max \{-a, 0\}$ ).

jarrro · 06. 01. 2010 17:33 — Editoval jarrro (06. 01. 2010 17:38)

↑ lukaszh:máš pravdu neviem prečo som si to myslel aj keď tá funkcia nesplňuje spojitosť na celom R,ale asi to nebude fungovať neviem počkajme na druhých,ale teraz už aj ja verím,že som si myslel hlúposť
↑ Rumburak:a s tým nevalstným integrálom je to ako?

Rumburak

↑ jarrro:
Symbol

(1) $\sum_{x\in M}f(x)$ ,

jak jsem ho zavedl ve svém předchozím příspěvku, je případem (v Jarníkově terminologii) Lebesgue - Stieltjesova integrálu , a sice DLE DISKRETNÍ MÍRY
(tj. takové míry, která každé jednobodové množině přiřadí číslo 1 - viz teorie míry a integrálu - podrobně vybudováno v Jarníkově Integrálním počtu 2).

Samozřejmě že symbol (1) má pak praktický význam hlavně tehdy, když M je množinou všech přirozených čísel nebo její kartéskou mocninou - dostáváme
pak teorii absolutně konvergentních řad (včetně řad vícerozměrných) a můžeme v ní využívat některých užitečných výsledků z teorie LS integrálu,
např. věty o limitě - resp. derivaci - integrálu podle parametru, pro vícerozměrné řady pak Fubiniovu větu.

Z tohoto pohledu mají $\sum_{r\in\mathbb{R}}{f\left(r\right)}$ a $\int_{-\infty}^{\infty}{f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ (chápaný jako Lebesgueův integrál) společný teoretický základ, avšak liší se volbou míry (množinové funkce
definované v $\mathbb{R}$ ), na níž je integrál postaven - v prvním případě jde o diskretní míru (mírou množiny je zde "počet jejích prvků"), ve druhém případě o
Lebesgueovu míru, která zobecňuje pojem délky intervalu, což je něco podstatně jiného než v předchozím případě.

**********

Jiný způsob, jak při reálné funkci f zavést symbol (1) - a to jako zobecnění Cauchyova pojetí součtu řady - je následující.
Můžeme říkat, že (1) konverguje k součtu $s \in \mathbb{R}$ , pakliže ke každému $\epsilon \,>\, 0$ existuje konečná množina $D \subseteq M$ , pro niž platí:

(2) Kdykoliv $K$ je konečná množina splňující $D \subseteq K \subseteq M$ , potom $\|s\, -\sum_{x\in K}f(x)\| \,< \,\epsilon$ .

Obdobně pro nevlastní součty.

Takto definovaná konvergence narozdíl od předešlé není obecně absolutní. Ani zde nevím, kde se to dá prakticky použít krom speciálního případu, kdy jde
o součet řady (případně i vícerozměrné), navíc zde ani neznám žádné teoretické výsledky, které by přesahovaly teorii klasických jednorozměrných řad,
ani nevidím tak těsnou souvislost s pojmem integrálu jako v případe rozebraném výše (i když určitou analogii také cítím).