Matematické Fórum

↑ kvetinka:
To je hezký (pro mně), ... ale aby sme to byli schopný řešit, tak od tebe potřebujem vědět jak máte definovanou teorii SC0.

Aha, to jsem neveděla...:-)
Tak snad vám pomůže tohle:

No samozřejmě že potřebuju axiomy SC0

Tak začnem třeba c)
Všechny spočetné modely SC0 asi znáš.

Pokud se na to dobře koukám, tak jsou takovýhle:
Standartní model + nejvýše spočetný počet spočetných částí (jakoby celých čísel). Pořadí nerozoduje, protože nemáme usořádání. (... Teď si nejsem jistý, jestli neni potřeba Axióm výběru pro nespočetně mnoho částí, ale myslím, že tady ještě ne)

Takže teď tam dodat jen Interpretaci predikátu U. Je jasný, že pokud bude mít některý prvek v kterékoli části vlastnost U, tak ho budou mít všechny prvky v dané části.
Navíc kvůli indukci (i když nechápu proč je v této teorii zaváděna) pokud má vlastnost U prvek 0, tak ji mají všechny prvky, a pokud 0 nemá vlastnost U, tak jí nemá žádný prvek.

Takže spočetných modelů je spočetně  mnoho, a jsou to modely nad stejnýma nosnýma možinama jaké jsou modely pro teorii SC0, s tím že pro množinu U platí že je buď celá nosná množina nebo prázdná množina.

Speciální  podotázka by měla být už jasná.


Pokračování až zase budu mít trochu času.

A která fakulta? PřF?

Nevim proč se stydíš,... Zvlášť když vidím tohle. Nevěděl jsem, že na MFF se dělaj metateorie až do takový hloubky.
Pokusím se s tím něco udělat, ale neslibuju, že to do konce týdne všechno stihnu. Přecejen se na některý věci musím taky podívat do teorie. (už si to všechno nepamatuju).

Ale můžeš mi s tím trochu pomoc. Určitě jste na seminářích (přednáškách) zodpověděli otázky a), b) a d) pro teorii SC0. Takže skus zapátrat v paměti nebo sešitě a hoď mi to sem. Odpověď pro rozšířenou teorii totiž bude podobná.

A abych zas neco vyřešil:

e) Teorie není kompletní, protože v ní není dokazatelná (ani vyvratitelná) sentence U(0).

Jejím přidáním mezy axiomy se teorie zúplní.
Stejně tak pridáním její negace.

To jsou (asi) jediné dvě jednoduché bezesporné kompletní extenze dané teorie.

a) Má. Jen teď pořádně nevidím jak to dokázat. Možná by to šlo pomocí definice koexistenční teorie.

b) Ano, je to ekvivalentní s tvrzením o eliminovatelnosti kvantifikátorů.

g) nemá prvomodel (takže ani algebraický prvomodel)
Protože existujou různé modely takové, že v jednom platí a v druhém . Protože v každém modelu musí existovat konstanta 0, tak by v prvomodelu musely platit obě tyto formule.

f) Ano, rozhodnutelná je. Napříkad se to dá dokázat tak, že pokud je formule dokazatelná v obou úplných extenzích (což je rekurzivní podmínka), tak je dokazatelná a v původní teorii.


No a ještě se podívám na to d) a h).

Jéé, jsi moc hodný, že jsi to zvádl a tak bleskově...Ani nevíš, jak si tvé pomoci vážím....:-)

Zkusím to tedy poslat svému cvičícího..Tak doufám, že mi to vezme...Jinak bych sem ještě napsala, kdyby se mu něco úplně nelíbilo...

Ps: Kdyby tě k čemukoliv ještě něco napadlo, tak napiš (trošku mám totiž strach z toho, že např. u toho a) mu to asi nebude stačit...No já doufám, že jo...)

Určitě dám ještě vědět, jak jsem dopadla....:-)
Tak ještě jednou mooooc moooc díky...:-)

↑ kvetinka:

to d) mas pravdu. hned to opravim.

to a) jsem myslel, ze se na to jeste podivas, priznam se, ze na to hledat konkretni dukaz jsem nemel uz moc cas (a silu), ale pokud bude potreba, tak se k tomu este nekdy vratim.

Nojo, moje chyba.

Většina toho (možná všechno) se týká právě problému že já uvažoval teorii s indukcí. Neuvědomil jsem si, že je ale omezena pouze na formule v původním jazyce.

Ještě se ti na to podívám.

Btw: nemůžeš někde najít definici otebřené axiomatizovatelnosti?

Už mám tu otevřenou axiomatizovatelnost...:-)

"Je-li teorie T otevřeně axiomatizovatelná, pak každá podstruktura
jakéhokoli jejího modelu je opět modelem T."
-pro příklad použití....viz Tvrzení 1.3.5.2.1)e

Tak začnu tím jasným,

c) Začátek je stejný, to znamená, že modely bez predikátu U jsou stejné jak jsem napsal předtím.
Interpretrace U je takováhle: všechny proměnné v každé části jsou buď v U nebo všechny nejsou v U.

Protože nezáleží na pořadí částí, tak nás zajímá jen jejich počet. Rozliším dva případy. Jestliže prvky N mají vlastnost U nebo nemají.

i) mají: Potřebujem spočítat kolik částí Z je takových že všechny její prvka mají vlastnost U a kolik je takových že ji nemají. Obojích je nejvýše spočetně mnoho.
ii) nemají: Stejně jako v i)

Ještě si spočtem kolik je spočetných modelů (bude se to hodit později). Je jich tedy


d) Izomorfní spektrum je
pro kapa nekonečné
pro kapa konečné

Zdůvodnění pro první řádek je takovýhle:
Pokud je kapa = omega, tak to už máme dokázaný
Pro kapa > omega platí, že modely vypadají takhle: Prvky N mají vlastnost U nebo nemají. Dále buď je kapa částí Z takových, že její prvky mají vlastnost U a nejvýše kappa takových co vlastnos U nemá, nebo je kapa částí Z takových, že její prvky nemají vlastnost U a nejvýše kappa takových co vlastnos U má. Když to spočtem, tak nám vyjde

e) Zdůvodnění že není kompletní je stejné.
Zkompletnění se dá udělat přidáním axiomu , nebo přidáním axiomu .
Myslím, že dokonce i přídáním axiomů nebo vynikne kompletní teorie, ale nejsem si tim úplně jist, tak to rači nepřidávej:-)

f) Můžeš použít stejné zdůvodnění jako předtím, akorád s kompletníma teoriema který jsem uved v tomto příspěvku.


Pokračování příště...

a) takovou formulí kterou máš najít je ta je splněna v modelu ale ne v modelu

b) že není modelově kompletní se ukáže na modelech a a formuli . Platí že nosná množina A je částí nosné množiny B, ale existuje formule jazyka modelu která platí v jednom a neplatí v druhém modelu.


Ještě by se asi měla ukázat eliminační množina, ale když ti to nenapsal do připomínek, ...

h) definici otevřené axiomatizovatelnosti si mi nedodala, takže toho už moc udělat nemůžu

Hodně štěstí.