Matematické Fórum

BakyX · 15. 01. 2010 20:42 — Editoval BakyX (16. 01. 2010 13:55)

Našiel som niekde túto úlohu a môžem povedať že je veľmi dobrá a zaujímava a ehm. zaujímalo by ma riešenie vás, profesionálnych matematikárov :) Enjoy.

Ručičky na hodinách ukazujú čas: 7 hodín, 7 minút, 7 sekúnd. Presne v tomto čase sa jednotlivé ručičky spomalia alebo zrýchlia nasledovne:

Sekundová sa zrýchli o 10%.
Minutová sa spomali o 20%.
Hodinová sa spomali o 30%.

Každú sekundu sa minutová ručička zrýchli o 90%.
Každú minútu sa sekundová ručička spomali o 95%.
Každu hodinu sa hodinová ručička zrýchly o 10%.

Aký čas prejde, kym ručičky budú ukazovať 10:00:00 hodín ???

Batrachus · 15. 01. 2010 21:31

Tak jsem to zkusil spočítat programově a sekl se mi počítač. :D

check_drummer

BakyX napsal(a):
Každú sekundu sa minutová ručička zrýchli o 90%.
Každú minútu sa sekundová ručička spomali o 95%.
Každu hodinu sa hodinová ručička zrýchly o 10%.

"každou sekundu" je zde myšleno každou sekundu běžného ("standardního") času (ubíhajícího stále stejnou rychlostí) a nebo každou sekundu času, který uhíhá na těchto hodiách? Pokud např. na těchto hodinách sekundová ručička urazí za sekundu běžného času 3 sekundy, je "sekundou" v citaci výše myšlena 1 sekunda běžného času a nebo 1/3 sekundy běžného času?

Je-li tím myšlena druhá možnost (tj. uvažováno v čase těch hodin), pak za 1,2 min + 12 minut (měřeno v "běžném" čase) dosáhne minutová ručička nekonečné rychlosti (součet geometrické posloupnosti). Za tuto dobu ovšem hodinová ručička zdaleko nasedosáhne 10 hodin, tedy úloha nemá v tomto případě řešení. Protože je to zajímavá matematická situace, uvedu toto jako samostatnou úvahu níže. :-)

Ovšem druhá myšlenka může být takováto: je-li rychlost ručičky nekonečná, pak v libovolném čase nabývá tato ručička libovolné hodnoty. Z výše uvedeného zadání je vidět, že dvě ručičky geometricky zrychlují, tedy v nějakém čase (stále předpokládám zrychlování dle minulého odstavce) budou jejich rychlosti nekonečné (a pak nabydou v libovolném čase, až budou jejich rychlosti nekonečné, libovolného místa na ciferníku), tedy stačí zjistit, kdy poprvé od doby, kdy se rychlosti obou ručiček staly nekonečné, dosáhne ručička, která zpomaluje (sekundová) požadované hodnoty (tj. bude ve svislé poloze). Resp. zjistit, zda přeci jen nedojde ke stavu, kdy nedojde ke stavu 10:00:00 dříve, než budou rychlosti obou ručiček (minutová, hodinová) nekonečné (to stačí zjistit pro sekundovou a hodinovou ručičku, protože minutová nebyde nekonečné rychlosti velmi brzo - viz odstavec výše).

check_drummer · 16. 01. 2010 13:03

Reaguji na jednu řešení, zde je pro jednoduchost trošku modifikovaná úvaha:

(Pozn: Oprosťme se od teorie relativity, že nelze dosáhnout nekonečné rychlosti)

Minutová ručička po každém svém oběhu zrychlí dvojnásobně svou rychlost: tj. první svou otočku zvládne za minutu, druhou za půl minuty, třetí za čtvrt minuty atd. Tyto časy tvoří geometrickou posloupnost, která má součet 2 z čehož plyne, že rychlost ručičky v čase 2 minuty od začátku pokusu by měla být nekonečná. Je to tak a jak se s tím vyrovnat? :-))

Kondr · 16. 01. 2010 17:49

↑ BakyX: Pohybují se ručičky spojitě, nebo sekundová vždy po "sekundě", minutová po "minutě" a hodinovápo "hodině" ukže o číslo víc?

Znáš správné řešení? Odkud ta úloha je?