Matematické Fórum

↑ Jefries:
Ahoj.

Koukal jsem na ten první a dobře to není.

Jen k zadání - nevím co znamená že "matice generuje prostor" (resp. brát to tak jak je to napsané, řeším jinou úlohu než se zřejmě chce). Přeložil jsem to tak, že vektory z R^4 generující prostor jsou zapsané ve sloupcích. Pokud to tak je, dá se z fleku odpovědět na tu divnou otázku "Napište vektorový podprostor" - prostě napsat, že je to lineérní obal ze sloupců té matice (vybrat bázi po nás nikdo nechtěl). To si ale vyřeš s tím kdo vám to zadal, mně to zadání přijde dost nešťastné.


K tvému řešení:
Ty úpravy jsou v pořádku, o to nejde, ale odkud jsi vykoukal že dimenze je 3 pro a=-2/3 a žádné další řešení neexistuje?
Správný postup by byl pokračovat dál v úpravách, a dostat matici do horního stupňovitého tvaru. Pokud se podíváme na tvou poslední úpravu, tak bys teď musel zavést si předpoklad, že , a potom poslední řádek vynásobit číslem (3a+2) - ten předpoklad je nutný, abychom náhodou nenásobili nulou. Potom k vzniklému čtvrtého řádku přičteme (a+5)násobek třetího (žádný předpoklad není nutný, případě a=-5 budeme přičítat nulu, a to se smí), čímž vyrobíme v posledním řádku třetí nulu - z našeho předpokladu plyne, že na třetím místě třetího řádku není nula, a matice tedy opravdu je v horním stupňovitém tvaru, a její hodnost bude záviset na výrazu co bude vpravo dole.

To bude polynom druhého stupně, jehož kořeny najdeme pomocí diskriminantu - vyjdou a . Ten první ale odporuje našemu předpokladu, takže ho necháme být a zapíšeme si výsledek - při této hodnotě bude dimenze 3.
Ten případ vyřešíme teď zvlášť - dosadíme ho do poslední úpravy před ten náš předpoklad a doupravíme matici na horní stupňovitý tvar - uvidíme, že i v tom případě je dimenze prostoru rovna třem. Takže závěr - dimenze je rovna čtyřem, kromě těch dvou případů, kdy je to 3.

Z tvého postupu šlo akorát vykoukat, že při dosazení -2/3 vypadne celý jeden řádek, a dimenze bude tři, ale to druhé řešení ti ušlo.
Je ten návod jasný?


Ke druhému příkladu - výsledky vypadají v pořádku. Ty souřadnice jsou dobře určitě (tam si mimochodem stačí udělat zkoušku), a dimenze toho prostoru je určitě tři, takže báze je pravděpodobně správně taky. Akorát se při těch úpravách neboj násobit si rovnice nějakými konstantami, ať ti tam nevycházejí ty hrozný zlomky, s tím by se mi počítat nechtělo.