Matematické Fórum

honza33 · 25. 01. 2008 10:14

Prosím o pomoc s řešením tohoto příkladu.

Zasekl jsem se u hledání vlstních čísel matice, řešit jsem to začal takto:

| 1 -1 0|
A=|-1 1 1|
| 0 1 1|

|1-T -1 0 | |1-T 1 | |-1 1 |
|-1 1-T 1 | = (1-T)| 1 1-T| + | 0 1-T| =
| 0 1 1-T|

=(1-T)((1-T)^2 -1)-1+T = (1-T)(-2T+T^2)-1+T = -1 - T + 3T^2 - T^3 = -1+T(-1 + 3T - T^2)

thriller · 25. 01. 2008 11:49

ja ten determinant spocitam sarusem: $(1-T)^3-(1-T)-(1-T) = (1-T)[(1-T)^2-2] = -(1-T)(T^2+2T+1)=-(1-T)(T+1)^2$
Vlastni cisla tak vychazi 1 a -1

honza33 · 25. 01. 2008 14:13

neměly by vlastní čísla být 3?
Já jsem vypočítal -1, 1, 1

Ale nevím, zda jsem postupoval správně. Nejdříve jsem si upravil matici A takto:

| 1 -1 0| |1 -1 0|
|-1 1 1| =|0 -1 0| (2. řádek je R2 + R1 - R3)
| 0 1 1| |0 1 1|

a až z této upravené matice jsem pomocí determinantu počítal vlastní čísla, lze to tak? Díky

Vlastní vektory mi potom vyšly:
v1 = (1/2, -2, -1)
v2 = (1, 0, 0)
v3 = (0, 0, 1)

Dále mi vyšlo, že tyto vektory nejsou ortogonální, ale nedaří se mi je ortogonalizovat...

thriller · 25. 01. 2008 14:26

Jsou dvě různá vlastní čísla a z toho číslo 1 má násobnost (myslim že algebraickou) dva.
A k té upravě, nevím to zcela jistě, ale myslím, že neplatí, že dvě ekvivalentní matice mají stejné vlastní čísla.

honza33 · 25. 01. 2008 14:47

na 100% jsou přehazovat řádky, to mám v jednom řešeném příkladu ve skriptech, ale nevím, zda můžu i sčíta násobky řádků. každopádně vlastní čísla mi vlastně vyšly stejně jak tobě, tak to snad bude ok.

Problém je, že se mi nedaří ortogonalizovat vlastní vektory, pokoušel jsem se takto:
(v1,v2) = 1/2 + 0 + 0 = 1/2
(v2,v3) = 0 + 0 + 0 = 0
(v1,v3) = 0 + 0 + 1 = 1

f1:
f1 = (1/2, -2, 1)

f2:
(v2,f1)/(f1,f1) = 2/21
f2 = (1, 0, 0) - 2/21(1, 0, 0) = (20/21, 0, 0)

f3:
(v3, f1)/(f1,f1) = 4/21
(v3,f2)/(f2,f2) = 0
f3 = (0, 0, 1) - 4/21(1/2, -2, 1) = (-4/42, -8/21, -17/21)

Ověření ortogonality nových vektorů:
(f1, f2) = 20/42 + 0 + 0 = 10/21 - není ortogonální!!!

Kde dělám chybu?

plisna · 25. 01. 2008 15:48 — Editoval plisna (25. 01. 2008 15:50)

delas chybu pri te ortogonalizaci: mejme vektory $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \dots$ , ktere chceme ortogonalizovat na vektory $\vec{w_1}, \vec{w_2}, \dots$ . postupujeme rekurentne takto:

$\vec{w_1}=\vec{u_1}$ ,

$\vec{w_k} = \vec{v_k} - \sum_{i=1}^{k-1}\frac{(\vec{v_k}, \vec{w_i})}{||\vec{w_i}||^2}\vec{w_i}$ ,

coz je klasicky gram-schmidtuv ortogonalizacni algoritmus.

Matematické Fórum

#1 25. 01. 2008 10:14

Spektrální rozklad matice

#2 25. 01. 2008 11:49

Re: Spektrální rozklad matice

#3 25. 01. 2008 14:13

Re: Spektrální rozklad matice

#4 25. 01. 2008 14:26

Re: Spektrální rozklad matice

#5 25. 01. 2008 14:47

Re: Spektrální rozklad matice

#6 25. 01. 2008 15:48 — Editoval plisna (25. 01. 2008 15:50)

Re: Spektrální rozklad matice