Matematické Fórum

okurka · 27. 01. 2010 14:03

Zdravím.
Mám rovnici f(x,y)=(x+sqrt(2-y^2))/(sqrt(2-y^2)) a mám určit diferenciální rovnici průmětu spádnic v rovině xy a která prochází bodem A[sqrt(2),0].

Po úpravách se dostanu na tvar: (x^2)/2=2ln y -(y^2)/2 +C
Když bych dosadil bod A pro výpočet C, dosazoval bych ln 0 a to se mi trochu příčí.

Mohl by se k tomu kdyžtak někdo vyjádřit ? :o)

Rumburak

Plocha je dána rovnicí $z \,= \,\frac{x\, +\, \sqrt{2-y^2}}{\sqrt{2-y^2}}$ neboli $z \,= \,f(x,y)\, :=\,\frac{x}{\sqrt{2-y^2}} \, +\, 1$ .

"Půdorys" p té spádové křivky, která prochází obecným bodem [a, b, f(a,b)] , má v bodě C := [a, b] tečný vektor
$\vec {u}\,=\,$\frac{\partial f}{\partial x}(C),\,\frac{\partial f}{\partial y}(C) $$ , tedy tečnu o parametrické rovnici $X \,=\, C\,+\, t\vec{u}$ , rozepsáno po souřadnicích
$x \,=\, a\,+\, t \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(C)$ , $y\,=\, b\,+\, t \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(C)$ , po zderivování dle t obdržíme $x^\cdot \,=\, \frac{\partial f}{\partial x}(C)$ , $y^\cdot\,=\,\frac{\partial f}{\partial y}(C)$ .
Vynásobíme spolu tyto rovnice (před tím ještě ve druhé rovnici vzájemně zaměníme její levou a pravou stranu) , čímž dostaneme
$\frac{\partial f}{\partial y}(C)\,x^\cdot \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}(C)\,y^\cdot$ . Formálním vynásobením poslední rovnice diferenciálem $\text{d} t$ obdržíme
$\frac{\partial f}{\partial y}(C)\,\text{d} x \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}(C)\,\text{d} y$ , což abstrakcí od bodu C dává diferenciální rovnici $\frac{\partial f}{\partial y}\,\text{d} x \,=\,\frac{\partial f}{\partial x}\,\text{d} y$ .

Dosazením $\frac{\partial f}{\partial x}\,=\,\frac{1}{\sqrt{2-y^2}}$ , $\frac{\partial f}{\partial y}\,=\,\frac{-xy}{(2-y^2)\sqrt{2-y^2}}$ dostaneme $\frac{-xy}{(2-y^2)\sqrt{2-y^2}} \,\text{d} x \,=\,\frac{1}{\sqrt{2-y^2}}\,\text{d} y$ ,
což po vykrácení dává $\frac{-xy}{(2-y^2)} \,\text{d} x \,=\,\text{d} y$ resp. $\frac{-xy}{(2-y^2)} \,=\,y'$ , počáteční podmínka bude $y(\sqrt{2}) = 0$ .

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2010 14:03

Průběh funkce dvou proměných

#2 02. 07. 2010 15:06 — Editoval Rumburak (02. 07. 2010 17:05)

Re: Průběh funkce dvou proměných

Zápatí