Matematické Fórum

BakyX · 12. 02. 2010 16:45

Do štvorca ABCD je vpísany rovnostranný trojuholník AXY, kde X leží nausečke DC a Y na úsečke CB. Vypočítajte pomer strany štvorca a trojuholníka.

Vychádza mi:

$\sqrt{72}:\sqrt{75}$

Wotton · 12. 02. 2010 17:07 — Editoval Wotton (12. 02. 2010 17:15)

Gratuluju.

Mě vychází $\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Mimochodem, odkud je ten příklad? Přijde mi na ZŠ dost složitý...

EDIT: oprava viz ↑ medvidek:↑ Wotton:

medvidek

To jsou dva různé výsledky a mně vychází také něco jiného :-)
$\frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}$

Wotton · 12. 02. 2010 17:14

↑ medvidek:
To protože tam mám chybu. Neumím počítat kvadratickou rovnici:-)

BakyX · 12. 02. 2010 17:25

Ja som kvadratickú rovnicu nepoužil. Len som si dokreslil ďalsie dve body X2, Y2 a nacrtol dalsi trouholnik. Potom dal do pomeru dlzku uhlopriecky stvorca zo vzorcu $a\sqrt3$ a vypocet ulopriecky stvorca cez vysky trojuholnikov (vysky velkeho a dvoch malych ktorych strana je a/3. Ako sa to da cez kvadraticku rovnicu ?

Wotton · 12. 02. 2010 17:30 — Editoval Wotton (12. 02. 2010 17:31)

nechápu jaké body X2 a Y2 sis dokreslil. A navíc úhlopříčka čtverce je $a\sqrt{2}$

BakyX · 12. 02. 2010 18:04 — Editoval BakyX (12. 02. 2010 18:12)

Nejak takto. Len tie body neboli oproti sebe ale bod X1 bol vzdialeni od B ako X od D a to iste aj z Y1

BakyX · 12. 02. 2010 18:33

a inak ako ste dostali výsledok $\frac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}$ ?

Wotton · 12. 02. 2010 18:51

↑ BakyX:
Až mi odpovíš na mojí první otázku...

Wotton napsal(a):
Mimochodem, odkud je ten příklad? Přijde mi na ZŠ dost složitý...

... tak ti to rád předvedu...

BakyX · 12. 02. 2010 19:02 — Editoval BakyX (12. 02. 2010 19:02)

Uloha MO z roku 1997 (matematika.okamzite.eu)

Wotton · 12. 02. 2010 19:26 — Editoval Wotton (12. 02. 2010 19:38)

↑ BakyX:
Fajn, takže takhle:

Označím si a stranu čtverce, b stranu trojůhelníka a c vzdálenost |BY|.

Nyní platí:
$a^2+c^2=b^2\nl2(a-c)^2=b^2$ z prvního si vyjádřím $c=\sqrt{b^2-a^2}$ a dosadím do druhého $2(a-\sqrt{b^2-a^2})^2=b^2$

A teď už jen úpravy:
$2\left(a-\sqrt{b^2-a^2}\right)^2=b^2\nl \left(a-\sqrt{b^2-a^2}\right)^2=\frac{b^2}{2}\nl a-\sqrt{b^2-a^2}=\frac{b}{\sqrt{2}}\nl a-\frac{b}{\sqrt{2}}=\sqrt{b^2-a^2}\nl \left(a-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2=b^2-a^2\nl a^2-2a\frac{b}{\sqrt{2}}+\frac{b^2}{2}=b^2-a^2\nl 2a^2-\sqrt{2}ab-\frac{b^2}{2}=0\nl 4a^2-2\sqrt{2}ab-b^2=0\nl 4\frac{a^2}{b^2}-2\sqrt{2}\frac{a}{b}-1=0$
Dále substituce $x=\frac{a}{b}$ :
$4x^2-2\sqrt{2}x-1=0$ tahle rovnice má dva kořeny $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ a $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ , přičemž první je záporný, takže nás nezajímá.

V průběhu úprav si vždy musíš dát pozor na to jestli se vždy umocňujou a odmocňujou jen kladné výrazy, ... což je splněno.