Matematické Fórum

nunik · 20. 02. 2010 12:24

Zdravim, potřebovala bych poradit s postupem, jak vypočítat průběh logaritmcké funkce.
f(x) = log3x + 1
Ve škole jsme brali snad všechny typy, až na tuto...
Určete:
D(f)
Průsečíky s osami
lokální extrémy
asymptota svislá
asymptota vodorovná

D(f) mi vyšel: (0,∞)
Potřebovala bych postup a pak už to snad půjde.
Díky moc všem za příspěvky.

mikee · 20. 02. 2010 13:00

↑ nunik:
Definicny obor mas dobre :)
Z toho hned vyplyva, ze priesecnik s osou y neexistuje, lebo funkcia nie je v bode x=0 definovana. Priesecnik s osou x vypocitame tak, ze riesime rovnicu 0 = log3x + 1, tato rovnica riesenie ma (jedno, teda priesecnik s osou x je jeden).
Lokalne extremy funkcia nema, to ukazeme tak, ze vypocitame jej prvu derivaciu a zistime, preco sa nikdy nebude rovnat nule. Aby mohla mat funkcia v danom bode lokalny extrem, tak sa musi jej prva derivacia v tomto bode rovnat nule (nutna podmienka).
Vodorovna asymptota neexistuje, zvislou je os y, teda priamka x=0.
Toto vsetko prakticky okamzite vidno z grafu funkcie, ktory urcite odporucam si nakreslit :) Ak nevies ako na to, tak zacni s funkciou y = log x, to je rastuca zhora ani zdola neohranicena funkcia prechadzajuca bodom [1,0]. Dalej funkcia y = log3x je taka ista, iba je 3-krat "stlacena" v "horizontalnom" smere (v smere osi x). No a napokon nasa funkcia y = log3x + 1 je taka ista iba je cela posunuta o 1 hore v smere osi y.
Dufam ze som pomohol :)

nunik · 20. 02. 2010 13:33

↑ mikee:
Díky, určitě mi to pomůže.
Teď jsem ještě narazila na určení inverzní funkce a inflexních bodů.
Tak s tím asi taky sama nepohnu...

Oxyd · 20. 02. 2010 14:13

nunik napsal(a):
↑ mikee:
Díky, určitě mi to pomůže.
Teď jsem ještě narazila na určení inverzní funkce a inflexních bodů.
Tak s tím asi taky sama nepohnu...

Inverzní body jsou tam, kde druhá derivace je nulová. Správně bys měla zjistit, že nulová není nikde, proto žádný inflexní bod není.

Inverzní funkce k logaritmu je exponenciála. Zbývá vyřešit, jak přesně bude vypadat. Máme

$y = \log 3x + 1$
$y - 1 = \log 3x$
$e^{y - 1} = 3x$
$\frac{e^{y - 1}}{3} = x$

Teď to akorát formálně přeznačíme a dostáváme kýženou inverzní funkci: $y = \frac{e^{x - 1}}{3}$ .

nunik · 20. 02. 2010 14:23

↑ mikee:
průsečík s osou x má být (2,0)?
v tomto bodě bude funce procházet v grafu?

Olin · 20. 02. 2010 14:27

Asi by bylo dobré zjistit, jestli zápis log3x znamená logaritmus tří x nebo logaritmus x o základu 3. V prvním případě jestli se jako log označuje logaritmus dekadický, nebo přirozený.

nunik · 20. 02. 2010 14:32

↑ Olin:
logaritmus o základu 3

nunik · 20. 02. 2010 14:35

Mohl by mi prosím někdo nakreslit, jak bude vypadat graf?

jelena · 20. 02. 2010 14:55 — Editoval jelena (20. 02. 2010 14:59)

↑ nunik:

Zdravím,

zde kolega Honza v tématech SŠ velmi srozumitelně vysvětluje, jak se to kreslí (+ odkaz na materiál úplně na závěr tématu) - odkaz + úvodní téma sekce VŠ - pozor však na zadání do Wolfram, je třeba také zadávat i def. obor (osobně bych v tomto případě nedoporučovala).

---
kolega Olin má nárok na puntiky za luštění zápisů, zdravím.

EDIT: postup nakreslení grafu popsal také ↑ mikee:, děkuji.

nunik · 20. 02. 2010 16:20

↑ jelena:
Díky. S grafem už jsem si poradila.
Jen bych jeste potrebovala odsouhlasit jestli je dobre prusecik s osou x (2,0) nebo (1,1)?
Podle toho co jsem nakreslila mi to vychazi (1,1).

jelena · 20. 02. 2010 16:38

↑ nunik:

pokud je zadání funkce $f(x)=\log_3(x)+1$ , tak ani jedno z toho, co navrhuješ.

(2,0) - ne, protože...

(1,1) - ne, protože...

----
OT: ...nemám v plánu vysloužit zablokování.

Olin · 20. 02. 2010 16:42 — Editoval Olin (20. 02. 2010 16:42)

↑ jelena:
Bohužel postup kreslení grafu, který navrhuje kolega mikee, se vztahuje k případu $\log(3x)$ , a tedy není správný (z tohoto hlediska).

jelena · 20. 02. 2010 16:56

↑ Olin:

Děkuji - přidavala jsem do editu také odkaz na postup od kolegy, jelikož mi nepřišlo správné opomenout, že ten postup je zde už jednou popsán (i když se váže k jinému zadání). Inverzní funkce od kolegy ↑ Oxyd: také se vztahuje k něčemu jinému. Postupy však jsou principiálně v pořádku (pokud se upřesní označení pro přirozený a dekadický logaritmus).

Ovšem autorka dotazu na nesrovnalosti v zápisech nijak nereaguje (ani v případě ↑ mikee:, ani v případě ↑ Oxyd:), tak bych to považovala za projev, že vnímá návrhy jako možné varianty práce s logaritickou funkci o základu větším, než 1, a že nemá problém s uzpůsobením návrhů pro případ logaritmu se základem (3).

Čemuž, samozřejmě, v tématech VŠ zcela věřím.

nunik · 20. 02. 2010 18:31

↑ jelena:
jedná se o logaritmus při základu 3

nunik · 20. 02. 2010 18:34

↑ jelena:
muzes mi teda poradit, kde je chyba? Jak bych mela tedy průsečíky vypočítat?

zdenek1 · 20. 02. 2010 18:40

↑ nunik:
$0=\log_3(x)+1$
$\log_3x=-1$
$x=3^{-1}=\frac13$

nunik · 20. 02. 2010 18:55

↑ zdenek1:
Díky.
Ta inverzní funkce, jak psal Oxyd je tedy dobře?

zdenek1 · 21. 02. 2010 00:01

↑ nunik:
Inverzní funkce: Jak psala Jelena - prohodíš x a y a vyjádříš y

$x=\log_3(y)+1$
$x-1=\log_3(y)$
$3^{x-1}=y$ a to je inverzní fce.

jelena · 21. 02. 2010 00:09

↑ zdenek1:

Zdravím, jen pro pořádek - postup pro inverzní funkci psal kolega ↑ Oxyd: (navíc já nepřehazuji, ale zautočím a "formálně přejmenovávám" až na závěr).

zdenek1

↑ nunik:
Jestli se ty vlastnosti mají týkat fce $y=\log_3(x)+1$ , tak intervaly monotónnosti nejsou dobře.

nunik · 21. 02. 2010 10:34

↑ zdenek1:
Ano týkají se této funkce.
A ten zbytek je jinak dobře?
Tak ten interval místo 1/3 má být 1? Nebo podle čeho se to určuje?

zdenek1 · 21. 02. 2010 11:26

↑ nunik:
Funkce $y=\log_3(x)+1$ je rostoucí v celém $D_f$ , tj. $(0;\infty)$

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2010 12:24

Průběh logaritmické funkce

#2 20. 02. 2010 13:00

Re: Průběh logaritmické funkce

#3 20. 02. 2010 13:33

Re: Průběh logaritmické funkce

#4 20. 02. 2010 14:13

Re: Průběh logaritmické funkce

nunik napsal(a):

#5 20. 02. 2010 14:23

Re: Průběh logaritmické funkce

#6 20. 02. 2010 14:27

Re: Průběh logaritmické funkce

#7 20. 02. 2010 14:32

Re: Průběh logaritmické funkce

#8 20. 02. 2010 14:35

Re: Průběh logaritmické funkce

#9 20. 02. 2010 14:55 — Editoval jelena (20. 02. 2010 14:59)

Re: Průběh logaritmické funkce

#10 20. 02. 2010 16:20

Re: Průběh logaritmické funkce

#11 20. 02. 2010 16:38

Re: Průběh logaritmické funkce

#12 20. 02. 2010 16:42 — Editoval Olin (20. 02. 2010 16:42)

Re: Průběh logaritmické funkce

#13 20. 02. 2010 16:56

Re: Průběh logaritmické funkce

#14 20. 02. 2010 18:31

Re: Průběh logaritmické funkce

#15 20. 02. 2010 18:34

Re: Průběh logaritmické funkce

#16 20. 02. 2010 18:40

Re: Průběh logaritmické funkce

#17 20. 02. 2010 18:55

Re: Průběh logaritmické funkce

#18 21. 02. 2010 00:01

Re: Průběh logaritmické funkce

#19 21. 02. 2010 00:09

Re: Průběh logaritmické funkce

#20 21. 02. 2010 09:26 — Editoval zdenek1 (21. 02. 2010 09:27)

Re: Průběh logaritmické funkce

#21 21. 02. 2010 10:34

Re: Průběh logaritmické funkce

#22 21. 02. 2010 11:26

Re: Průběh logaritmické funkce

Zápatí