Matematické Fórum

SirIndy · 21. 02. 2010 11:57

V kruznici se stredem O jsou dva na sebe kolme prumery AB a CD a tetiva AM, ktera protina prumer CD v bode K. Pro jakou hodnotu uhlu BAM lze ctyruhelniku OBMK vepsat kruznici ???

Predem dekuji za pomoc.

Olin · 21. 02. 2010 12:32

Určitě vepsat, ne opsat? Jinak k tomu vepisování kružnice by se mohlo hodit toto.

zdenek1

↑ SirIndy:

Aby se dala vepsat kružnice, musí platit $|KO|+|MB|=|MK|+|MO|$
$|KO|=r\tan \alpha$
$|MB|=2r\sin\alpha$
$|OB|=r$
$|MK|=|MA|-|AK|=2r\cos\alpha-\frac{r}{\cos\alpha}$
Rovnice $r\tan\alpha+2r\sin\alpha=r+2r\cos\alpha-\frac{r}{\cos\alpha}$ vede na
$\sin\alpha+\sin2\alpha=\cos\alpha+\cos2\alpha$
a po úpravách
$\cos\frac\alpha2=0$ nebo $\tan\frac{3\alpha}2=1$

Kosinus ale nedává hodnotu z $(0;\frac\pi2)$ , takže zůstane
$\alpha=\frac\pi6$

SirIndy · 22. 02. 2010 14:14

↑ zdenek1:

Zdravim, podarilo se mi $r\tan\alpha+2r\sin\alpha=r+2r\cos\alpha-\frac{r}{\cos\alpha}$ zdarne upravit na $\sin\alpha+\sin2\alpha=\cos\alpha+\cos2\alpha$ ale nevim, jak z toho dostat koreny, mohl bys poradit prosim?

zdenek1 · 22. 02. 2010 15:57

↑ SirIndy:
Použijeme $\sin x +\sin y=2\sin\frac{x+y}2\cos\frac{x-y}2$ a obdobně pro kosinus

$\sin\alpha+\sin2\alpha=\cos\alpha+\cos2\alpha$
$2\sin\frac{\alpha+2\alpha}2\cos\frac{\alpha-2\alpha}2=2\cos\frac{\alpha+2\alpha}2\cos\frac{\alpha-2\alpha}2$
$\cos\frac\alpha2\left(\sin\frac{3\alpha}2-\cos\frac{3\alpha}2\right)=0$

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2010 11:57

Kruznice, vepsani kruznice ctyruhelniku

#2 21. 02. 2010 12:32

Re: Kruznice, vepsani kruznice ctyruhelniku

#3 21. 02. 2010 12:44 — Editoval zdenek1 (21. 02. 2010 12:44)

Re: Kruznice, vepsani kruznice ctyruhelniku

#4 22. 02. 2010 14:14

Re: Kruznice, vepsani kruznice ctyruhelniku

#5 22. 02. 2010 15:57

Re: Kruznice, vepsani kruznice ctyruhelniku

Zápatí