Matematické Fórum

Olin · 25. 02. 2010 13:26

Kolegové, mám tady jednu vtipnou úložku z teorie čísel.

Dokažte, že existuje nekonečně mnoho složených čísel tvaru $n^2 + n + 41,\, n \in \mathbb{N}$ .

Pro řešení zcela postačuje aparát základní školy :-)

Pavel · 25. 02. 2010 13:50 — Editoval Pavel (25. 02. 2010 13:52)

↑ Olin:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Olin · 25. 02. 2010 13:58

↑ Pavel:
Samozřejmě správně. Tato úloha je spíš vtipná v tom, že relativně zkušení lidé

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 25. 02. 2010 19:23

A jak je to obecně:
mějme libovolný polynom jedné celočíselné proměnné "n" s celočíselnými koeficienty 2. stupně, který je ireducibilní (nerozložitelný v součin). Existuje potom nekonečně mnoho n, že po dosazení do polynomu dostaneme složené číslo (nebo analogicky - prvočíslo)? Omezme polynom tak, že má nenulový absolutní člen a že nenulové koeficienty jsou nesoudělné.

Pavel · 25. 02. 2010 19:48

↑ check_drummer:

1. hodnota polynomu druhého stupně $P(x)=ax^2+bx+c$ bude přirozené číslo složené, jestliže $x=ck$ , kde $k\in\mathbb Z$ . Takových $x$ je samozřejmě nekonečně mnoho.

Jinak pěkný článek o polynomech generujících prvočísla je zde

http://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes

2. polynom, který bude generovat nekonečně mnoho prvočísel, je každý polynom stupně 1 $ax+b$ , pro který platí, že $a,b$ jsou nesoudělná přirozená čísla. Toto úzce souvisí s Dirichletovou větou, která říká, že v každé aritmetické posloupnosti existuje nekonečně mnoho prvočísel, viz

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet% … ogressions

check_drummer · 26. 02. 2010 19:28

↑ Pavel:

1. ... což ovšem neplatí pro c=1, existuje i v tomto případě nekonečně mnoho vygenerovaných složených čísel?

A jak je tomu u kvadratického polynomu generujícícho prvočílsla - je jich za mých výše uvedených předpokladů vždy/někdy nekonečně mnoho (článek myslím uvádí jen, že neplatí, že "skoro všechna" vygenerovaná čísla budou prvočísla)?

Pavel · 01. 03. 2010 11:08 — Editoval Pavel (01. 03. 2010 11:09)

↑ check_drummer:

1. ano existuje, stačí uvažovat např. polynom $2n^2+3n+1$ , jež generuje složená čísla, je-li $n$ liché číslo - obecně $an^2+bn+1$ , $a$ je sudé a $b$ je liché.

2. otázka, zda existuje kvadratický polynom generující nekonečně mnoho prvočísel, je stále otevřena, viz

http://primes.utm.edu/notes/conjectures/ - 6. problém