Matematické Fórum

ajucha · 07. 03. 2010 14:29

Dokažte, že v pravoúhlém trojúhelníku je součet délek odvěsen roven součtu průměru kružnice vepsané a průměru kružnice opsané.
? a+b=2R+2r R-poloměr k. vepsané. r- poloměr k. opsané

Já se tomu zaboha nemůžo dopočítat, upravuju pravou stranu rovnice,ale nejdemi to. Nemá se nějak upravit i levá strana?
POradil by jste mi někdo?
Dik:)

Ivana · 07. 03. 2010 15:27

↑ ajucha:

Začala bych takto : (jsem nevěříci Tomáš ... a vidím ... tvrzení je pravdivé)

ajucha · 07. 03. 2010 15:37

↑ Ivana:

ale mám to dělat obecně apoužít vzorce:r=(abc)/4.odmocnina z [s(s-a)(s-b)(s-c)] a R=odmocnina z [(s-a)(s-b)(s-c)]/odmocnina z s

jelena · 07. 03. 2010 15:40 — Editoval jelena (07. 03. 2010 15:40)

↑ ajucha:, ↑ Ivana:

Zdravím vás,

já jsem zas neuvěřitelně liná - na Východě to vyřešili tak. - vycházeli z toho, že střed kružnice vepsané je O, společné body kružnice vepsané a odvesných jsou A1, B1. A jelikož střed vepsané leží na osě pravého úhlu (to byl jediný nápad, který jsem měla v tomto případě :-), tak A1CB1O je čtverec.

Mám velký pokrok v hledání ve východních zdrojích - teď to bylo na 1. klik.

Ivana · 07. 03. 2010 15:56

↑ jelena: Zdravím :-) , jsi neuvěřitelně šikovná , já než si sesumíruji, co se v příkladu počítá, ty už máš poslaný odkaz. :-)

ajucha · 07. 03. 2010 16:47

↑ jelena:
ale to není vyřešeno to, na co jsem se ptala, ne?

jelena · 07. 03. 2010 17:08

↑ ajucha:

V ruském odkazu důkaz tvrzení ze zadání je proveden, ale není použito vzorců, co uvádíš. Pro jejich důkaz je potřeba nakreslit každou osu úhlů (vznikne jeden čtverec a 2 deltoidy), aby bylo vidět, jak vznikne, že $c=a-r+b-r=a+b-2r$ , zároveň $c=2R$ , odsud:

$2R=a+b-2r$

Není to ovšem můj originální nápad.

Je podmínkou použití vzorců ↑ ajucha:?

----
OT pro Ivanu: to je nacvík z realu + přirozená lenost :-)

jarrro · 08. 03. 2010 09:53 — Editoval jarrro (08. 03. 2010 09:54)

keď sa to nakreslí do súradnicovej sústavy tak riešením rovnice $R=\frac{\left|\left(a+b\right)R-ab\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ sa
zistí,že $R=\frac{ab}{a+b+\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{a+b-\sqrt{a^2+b^2}}{2}$ teda $2R+2r=a+b-\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{a^2+b^2}=a+b$

Rumburak

Jiné odvození:

Úpravami rovnice $a^2 + b^2 = c^2$ z Pythagorovy věty postupně obdržíme

$a^2 + b^2 - c^2 = 0$ , $a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$ , $(a + b)^2 - c^2 = 2ab$ , $(a + b + c)(a + b - c) = 2ab$ ,

$a + b - c = \frac {2ab}{a + b + c}$ , $a + b = c + \frac {2ab}{a + b + c}$ .

Že $c = 2R$ (kde R je poloměr kružnice OPSANÉ), je zřejmé.
Dále: pro obsah S našeho trojúhelníka platí jednak $S = \frac {1}{2}ab$ , za druhé $S = \frac {1}{2}r(a+b+c)$
(druhý z obou vzorců platí dokonce pro LIBOVOLNÝ trojúhelník se stranami a, b, c, při čemž r je poloměr kružnice VEPSANÉ).
Odtud $\frac {ab}{a+b+c} = r$ .