Matematické Fórum

Olin · 06. 02. 2008 18:11

Zdravím všechny. Obraz derivace je ve Fourierově transformaci (spojité) definován jako

$\mathcal{F} f'(t) = \mathrm{i} \omega \mathcal{F} f(t)$

Existuje nějaký podobný vzorec i pro obraz integrálu?

andrew · 06. 02. 2008 19:15

2Olin : zda se, ze ano. Viz Table of Fourier Transform Properties: (10)

Olin · 06. 02. 2008 20:40

Ta delta tam je Diracova delta? Má nějaký vliv na to, pokud to neintegrujeme?

andrew · 06. 02. 2008 23:12

2Olin : Ta delta tam je Diracova delta?
Jo.

Má nějaký vliv na to, pokud to neintegrujeme?
Nerozumim, zkus to nejak rozvest...

Olin · 07. 02. 2008 15:38

No jde mi o to, že Diracova delta se tam projeví prakticky až potom, co bychom ten výraz zintegrovali, ne? Nebo ji asi nechápu správně…

Zkusil jsem na to jít přes per partesku.

$\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^t f(\tau) \mathrm{d} \tau \right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} t = \left [ \frac{1}{-\mathrm{i} \omega} \left( \int_{-\infty}^t f(\tau) \mathrm{d} \tau \right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} + \frac{1}{\mathrm{i} \omega} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t} \mathrm{d} t$

Zbývá jen upravit tu hrůzu se složenými závorkami… Moc mi není jasné, jak z toho vznikne Diracova delta.

andrew · 07. 02. 2008 19:43

2Olin : Bohuzel, jak je vidno per partes nikam rozumne nevede. Odvozeni najdes zde u odstavce Time Integration.

Olin · 07. 02. 2008 20:11

Díky… škoda, tak se zdá, že pro opakovanou integraci nebude ve Fourierce žádný tak jednoduchý vztah jako pro derivaci.

andrew · 07. 02. 2008 20:34 — Editoval andrew (07. 02. 2008 20:45)

nmz, bohuzel vypada to tak... Mozna by stalo zato uvazovat nejakou tridu funkci (napr. $f(\tau)= e^{a\tau}$ ) a pro ne stanovit nejakej obecnejsi vzorec.

Olin · 07. 02. 2008 20:52

No, pokud vím, tak požadavek na předmět Fourierovy transformace je, že

$\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)| \mathrm{d}t$

musí mít konečnou hodnotu, a takových "rozumných" funkcí opravdu moc není…

andrew · 07. 02. 2008 21:04 — Editoval andrew (07. 02. 2008 21:06)

jop, jj mas pravdu, na to jsem zapomel

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2008 18:11

Fourierův obraz integrálu

#2 06. 02. 2008 19:15

Re: Fourierův obraz integrálu

#3 06. 02. 2008 20:40

Re: Fourierův obraz integrálu

#4 06. 02. 2008 23:12

Re: Fourierův obraz integrálu

#5 07. 02. 2008 15:38

Re: Fourierův obraz integrálu

#6 07. 02. 2008 19:43

Re: Fourierův obraz integrálu

#7 07. 02. 2008 20:11

Re: Fourierův obraz integrálu

#8 07. 02. 2008 20:34 — Editoval andrew (07. 02. 2008 20:45)

Re: Fourierův obraz integrálu

#9 07. 02. 2008 20:52

Re: Fourierův obraz integrálu

#10 07. 02. 2008 21:04 — Editoval andrew (07. 02. 2008 21:06)

Re: Fourierův obraz integrálu