Matematické Fórum

BakyX · 27. 03. 2010 20:03 — Editoval BakyX (27. 03. 2010 21:05)

Mame danú kruh k zo stredom S a polomerom r1. Vpíšeme do nej štvorec ABCD. Do tohto štvorca vpíšeme kružnicu l. Do tejto kružnice vpíšeme ďalší štvorec EFGH. Do štvorca EFGH vpíšeme rovnostranný trojuholník EIJ tak, že I leží na GH a J leží na FG. Do tohto trojuholníka vpíšeme kružnicu m. Číslo vyjadrujuce obsah kružnice k je dvakrat väčšie ako cislo vyjadrujuce obvod stvorca ABCD. Vypočítaj koľko % obsahu kruhu k zaberá kružnica m.

Mne vychádza:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ak poviete že je to zle dám sem postup.

musixx · 27. 03. 2010 23:53

Informace "Číslo vyjadrujuce obsah kružnice k je dvakrat väčšie ako cislo vyjadrujuce obvod stvorca ABCD." je poněkud navíc, jen by umožnila spočítat poloměr kružnice k, který vlastně ani nepotřebujeme.
Mně to ale vyšlo $\frac1{3(2+sqrt3)}$ , tedy asi 8,9%.

BakyX · 28. 03. 2010 13:47 — Editoval BakyX (28. 03. 2010 13:57)

Obsah kruhu opísaného rovnostrannému trojuholníku vypočítam $S=\pi r_1^2$ . Jej polomer je rovný: $r_1=\frac{a \sqrt{3}}{6}$ . Strana "a" je rovná: $a=\frac{4b}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ , kde $b$ je strana štvorca EFGH. Strana b sa rovná vzľadom na polomer r_2 kružnice "l": $b=\frac{2r_2 \sqrt{2}}{2}$ . Polomer r_2 je vlastne rovný $r_2=\frac{c}{2}$ , kde c je strana štvorca ABCD. C je vzhľadom na r kruhu k rovne: $c=\frac{2r \sqrt{2}}{2}$ . c dosadim do r2, r2 dosadim do b, b dosadim do a, a dosadim do r1, r1 dosadim do S. Ziskam tym obsah najmenšieho kruhu m vzhľadom na polomer veľkého kruhu. To upravím, dám do pomeru s obsahom veľkého kruhu. Je môj postup dobrý ? Vyšlo mi:

$\frac{1}{3 \sqrt{12}}$

musixx · 29. 03. 2010 10:59 — Editoval musixx (29. 03. 2010 11:01)

↑ BakyX: Počítali jsme to stejně, akorát já jsem šel z druhé strany, od toho velkého kruhu. Chybu máš někde v tom, co zde nepíšeš, v tom "daním všeho dohromady". Je totiž (podle toho, co jsi napsal):

$r=\frac{\sqrt2}2c=\sqrt2r_2=b=\frac{\sqrt2+\sqrt6}4a=\frac{\sqrt2+\sqrt6}4\cdot\frac6{\sqrt3}r_1=\frac{\sqrt3(1+\sqrt3)}{\sqrt2}r_1$ ,
odkud poměr obsahů dotyčných kruhů je
$\left(\frac{\sqrt2}{\sqrt3(1+\sqrt3)}\right)^2=\frac2{3(1+3+2\sqrt3)}=\frac1{3(2+\sqrt3)}$ .

EDIT: Protože $\frac{\pi r_1^2}{\pi r^2}=\left(\frac{r_1}r\right)^2$ .

BakyX · 29. 03. 2010 15:24

Už mi to vyšlo, aj keď som to 5 krát prepočítaval...Dik za pomoc.

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2010 20:03 — Editoval BakyX (27. 03. 2010 21:05)

Výpočty v kružnici - Je môj výsledok správny ?

#2 27. 03. 2010 23:53

Re: Výpočty v kružnici - Je môj výsledok správny ?

#3 28. 03. 2010 13:47 — Editoval BakyX (28. 03. 2010 13:57)

Re: Výpočty v kružnici - Je môj výsledok správny ?

#4 29. 03. 2010 10:59 — Editoval musixx (29. 03. 2010 11:01)

Re: Výpočty v kružnici - Je môj výsledok správny ?

#5 29. 03. 2010 15:24

Re: Výpočty v kružnici - Je môj výsledok správny ?

Zápatí