Matematické Fórum

BakyX · 31. 03. 2010 14:12 — Editoval BakyX (31. 03. 2010 14:23)

Zisti, či existujú také celé čísla x,y, ktorých súčet prevrátených hodnôt je rovný x-y.

Keď to robím rovnicou je to dosť komplikované. Ako to vyriesit ?

musixx · 31. 03. 2010 14:28 — Editoval musixx (31. 03. 2010 14:31)

Já to vidím takto:
$\frac1x+\frac1y=x-y$ dává po vynásobení xy: $x+y=x^2y-xy^2$ . Na toto se mohu podívat jako $x=y(x^2-xy-1)$ , ale také jako $y=x(xy-y^2-1)$ , odkud teda $x|y$ a současně $y|x$ . Pro přirozená čísla tak máme x=y, ale pak je x-y=0, a proto řešení neexistuje. Pro celá čísla by ještě mohlo být x=-y. Pak ale zase součet převrácených hodnot je nula a opět proto neexistuje řešení (rozdíl dvou opačných nenulových čísel není nula).

halogan · 31. 03. 2010 14:33

Tak se zaměr na tu levou stranu rovnice.

Jaký může být součet dvou zlomků s čitatelem jedna a jmenovatelem celým číslem? Resp. jaké celé číslo to může být (protože na pravé straně máme rozdíl dvou celých čísel, což je celé číslo).

Po úvaze dojdeš k tomu, že součet na levé straně bude (v abs. hodnotě) 0, 1, nebo 2. A teď už jen zkoušíš jednotlivé možnosti.

BakyX · 31. 03. 2010 15:47

Aha diky. A ako by som prišiel na hociktorú racionálnu dvojicu. Alebo dokázal že ani tá nieje.

musixx · 31. 03. 2010 16:44 — Editoval musixx (01. 04. 2010 09:47)

↑ BakyX: Šel bych na to stejným rozborem, jako jsem ukázal výše: předpokládejme $x=\frac ab$ a $y=\frac cd$ , 'a' a 'b' nesoudělná, stejně tak 'c' a 'd'. Pak máme řešit rovnost $\frac ba+\frac dc=\frac ab-\frac cd$ . Tak ji celou vynásobme $abcd$ . Dostaneme

EDIT: Odtud to bylo špatně, jak upozornil ↑ BrozekP: (díky) a stejně to tímto směrem nějak na první pohled nejde dotáhnout.

Pavel Brožek · 31. 03. 2010 17:00

↑ musixx:

Když rovnost

$\frac ba+\frac dc=\frac ab-\frac cd$

vynásobím $abcd$ , dostanu

$b^2cd+abd^2=a^2cd-abc^2$ . Taky z toho plyne $ab=\pm cd$ , ale o moc dál se nedostanu.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2010 14:12 — Editoval BakyX (31. 03. 2010 14:23)

Prevratene cisla

#2 31. 03. 2010 14:28 — Editoval musixx (31. 03. 2010 14:31)

Re: Prevratene cisla

#3 31. 03. 2010 14:33

Re: Prevratene cisla

#4 31. 03. 2010 15:47

Re: Prevratene cisla

#5 31. 03. 2010 16:44 — Editoval musixx (01. 04. 2010 09:47)

Re: Prevratene cisla

#6 31. 03. 2010 17:00

Re: Prevratene cisla

Zápatí