Matematické Fórum

xyuxyom · 01. 04. 2010 14:16

Řešte soustavu rovnic:

x^2/y+y^2/x=12
1/x+ 1/y= 1/3

Cheop · 01. 04. 2010 14:19

↑ xyuxyom:
Na první pohled:
$x=y=6$

Pavel Brožek · 01. 04. 2010 14:29

↑ Cheop:

Já jsem to na první pohled neviděl (až na první pohled na tvůj příspěvek :-) ). Ale nedokázal jsi, že neexistuje jiné řešení.

xyuxyom · 01. 04. 2010 14:45

A ja to nevidim porad:D

Pavel Brožek

↑ xyuxyom:

Když dosadíš za x a y 6, tak obě rovnosti platí.

Nenapadá mě lepší řešení, než z druhé rovnice vyjádřit x, dosadit ho do první a upravit na polynom stupně 4. Uhádli jsme (naštěstí dvojnásobný) kořen x=6, tak dělíme polynom kořenovým činitelem až se dostaneme na kvadratickou rovnici.

FailED · 01. 04. 2010 15:48 — Editoval FailED (01. 04. 2010 16:55)

Obecně to lze řešit tzv. metodou symetrických mnohočlenů, pokusím se najít nějakou teorii.

$x,y\neq0$

substituce
$x+y=a\nl xy=b\neq0$
$x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3ab$

Výpočet Zobrazit/skrýt!

Edit: Nic rozumného jsem nenašel, v podstatě jde o využití skutečnosti, že každý symetrický mnohočlen jde vyjádřit pomocí elementárních symetrických mhohočlenů. Když tímhle způsobem vyjádříme celou soustavu, zpravidla dostaneme soustavu nižšího stupně.

jelena · 06. 04. 2010 00:53

↑ FailED:

Děkuji za řešení, je zde ještě další varianta řešení od kolegy musixx.

↑ xyuxyom: lze považovat za vyřešené? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2010 14:16

rovnice

#2 01. 04. 2010 14:19

Re: rovnice

#3 01. 04. 2010 14:29

Re: rovnice

#4 01. 04. 2010 14:45

Re: rovnice

#5 01. 04. 2010 14:49 — Editoval BrozekP (01. 04. 2010 14:50)

Re: rovnice

#6 01. 04. 2010 15:48 — Editoval FailED (01. 04. 2010 16:55)

Re: rovnice

#7 06. 04. 2010 00:53

Re: rovnice

Zápatí