Matematické Fórum

Zeb · 05. 04. 2010 11:51

Dobrý den, prosím o pomoc se stejnoměrnou konvergencí funkčních posloupností.
Procházel jsem si teoretické materiály, ale u konkréních příkladů vždy narazím na nějaké komplikace/nejistoty.

Jako nejjednoduší se uvádí
$f_n(x)=x^n$ ; rozhoduji o stejnoměrné konv na intervalu $M=<0,1)$ ; limitní funkce $f(x)=0$ na M
Pokud je interval M=<0,1>, limitní funkce f(x) na M je nespojitá -> st. konv. neplatí
Chci-li použít obecnější postup pro interval <0,1), tak derivací x^n zjišťuji, že x^n je na I <0,1) rostoucí na celém M a supremum leží na pravé straně intervalu v (1-) a tedy sup=1, ale jak se zjištěnými suprémy dále naložit?

Podmínkou stejnoměrné konvergence je $lim(n->+inf) ze SUP|f_n(x) - f(x)|$ se musí rovnat nule.

Očekával bych, že do výrazu $sup|f_n(x) - f(x)|$ dosazuji za f_n(x) původní funkční posloupnost s takovou hodnotou x, v níž dostávám supremum na daném intervalu M a za f(x) dosazuji limitní funkci (v tomto případě f(x)=0).
Použiji-li toto na úvodní $f_n(x)=x^n$ , pak dostávám $sup|f_n(1-) - 0|=sup|0 - 0|=0$ , což by ukazovalo na stejn. konv. Je tento postup správný?

Je možné se spoléhat na to, že u stejn. konv f_n(x) budu-li přehazovat pořadí limit lim(n->∞) a lim(x->x0), pak mi vyjde vždy opravdu stejná hodnota pro jakékoliv libovolné x0 z intervalu stejnoměrné konvergence? nebo je možné, aby byla limitní funkce spojitá a zároveň měnila svoji hodnotu v závislosti na x0? (pak by snad nebylo možné měnit pořadí limit?)

Další příklad:
Mám-li funkční posl. $f_{n1}=x^n-x^{2n}$ na $M=<0,1>$ mi vychází $f(x)=0$ . Dále určuji supremum na I(0,1). Po 1.derivaci f_n1 a úpravách dostávám 1/2=x^n. Nechávám si funkci vykreslit a x=1/2 je opravdu vrchol. Nevadí, že jsem se nezbavil u x mocniny n? V jiných příkladech vycházelo x bez mocniny n.
Použiji-li předchozí postup, pak $sup|f_{n1}(1/2) - 0|=sup|0 - 0|=0$ , což asi ale nebude správně, neboť z řešení úlohy vychází, že f_n1(x) není stejn. konv na M.<0,1>
Věty říkají, že můžeme prokázat stejn. konv omezením fn_(x) shora jinou posloupností a_n, která konverguje k nule. Bylo by možně za tuto a_n uvažovat třeba f_na(x)=x^n-x^(4n)??

U příkladu $f_{n2}= \frac {nx}{(1+n^2x^2)}$ na $M=<0,2>$ určuji opět $f(x)=0$ , ale zde mám potíž určit supremum - z derivace narůstají mocniny a neupravil jsem výraz dost šikovně, abych určil samotné x. Z vykreslení funkce ale vychází supremum nenulové, kladné. Jak zde mám dále pokračovat?

Mohu o stejn. konv rozhodnout jiným věrohodným způsobem, pokud nejsem schopen určit hodnotu přesně x, ve které má f_n(x) na daném int M supremum?

Omlouvám se za vychrlení řady dotazů, ale přiznávám, že s tímto tématem mám opravdu problém a opravdu rád bych to napravil. Hledal jsem sbírku řešených příkladů, ale ve většině materiálů uvedou tak leda dva/tři příklady na navzájem odlišné jevy a ve sbírkách pak už k jednotlivým příkladům píšou jen ano/ne, platí/neplatí.
Moc Vám děkuji za jakoukoliv ochotu a snahu o osvětlení. :-)

Pavel Brožek

Reaguji na první část do "Je tento postup správný?". Není správný. Za $f_n(x)$ nedosazujeme rovnou supremum, ale $x^n$ .

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}|f_n(x) - f(x)|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}x^n$

Pro každé n je $\sup_{x\in[0,1)}x^n=1$ , takže pokračuji:

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}x^n=\lim_{n\to\infty}1=1\neq0$ ,

to znamená, že nekonverguje stejnoměrně.

Zeb napsal(a):
Je možné se spoléhat na to, že u stejn. konv f_n(x) budu-li přehazovat pořadí limit lim(n->∞) a lim(x->x0), pak mi vyjde vždy opravdu stejná hodnota pro jakékoliv libovolné x0 z intervalu stejnoměrné konvergence? nebo je možné, aby byla limitní funkce spojitá a zároveň měnila svoji hodnotu v závislosti na x0? (pak by snad nebylo možné měnit pořadí limit?)

To, že se tam objevila limita x->x0, je tím, že funkce f_n nabývá suprema na hranici množiny a je spojitá. To ale obecně vůbec takhle být nemusí. Existuje věta o záměně limit, jenže ta má v předpokladech právě stejnoměrnou konvergenci. Nemůžeme ji tedy použít pro dokazování stejnoměrné konvergence. Možná existuje i jiná věta o záměně limit, která by se někdy dala použít pro dokazování stejnoměrné konvergence, mě žádná ovšem nenapadá. Zde bychom ji ale určitě nemohli použít, protože zaměněním limit dostaneme jiný výsledek.

Zeb napsal(a):
Po 1.derivaci f_n1 a úpravách dostávám 1/2=x^n. Nechávám si funkci vykreslit a x=1/2 je opravdu vrchol.

x=1/2 je vrchol pouze pro n=1. Pro větší n bude vrchol v bodě daném rovnicí 1/2=x^n, čili $x=2^{-\frac1n}$ . Věty sice říkají, že když $|f_n(x)|$ omezíme shora nějakou posloupností $a_n$ konvergující k nule, tak funkce konverguje stejnoměrně, ale tady nám to bude k ničemu, protože funkce stejnoměrně nekonverguje. Spočítejme limitu toho suprema (tahle funkce nabývá svého suprema v maximu, toho využijeme):

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}|f_n(x) - f(x)|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1]}|x^n - x^{2n}|=\nl =\lim_{n\to\infty}$(2^{-\frac1n})^n -(2^{-\frac1n})^{2n}$=\lim_{n\to\infty}$\frac12-\frac14$=\frac14\neq0$

z toho plyne, že posloupnost funkcí nekonverguje stejnoměrně.

$f_{n}= \frac {nx}{(1+n^2x^2)}$ :

Tady stačí odhadnout supremum funkce $f_n(x)$ zdola funkční hodnotou v $x=\frac1n$ :

$\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}|f_n(x) - f(x)|=\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}f_n(x)\geq\nl \geq\lim_{n\to\infty}f_n(\frac1n)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+1}=\frac12>0$

Příště by bylo lepší postupně klást otázky po jedné, takhle je to poměrně nepřehledné. Omlouvám se, pokud tam mám někde nesmysl, je toho hodně a kontrolovat se mi to nechce. Tak se kdyžtak ptej, kdyby něco nebylo jasné.

Zeb · 05. 04. 2010 21:17

↑ BrozekP:
Dobře, moc děkuji, určitě mi to pomohlo. :-)

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2010 11:51

stejnoměrná konvergence funkčních posloupností

#2 05. 04. 2010 12:03 — Editoval BrozekP (05. 04. 2010 12:54)

Re: stejnoměrná konvergence funkčních posloupností

Zeb napsal(a):

Zeb napsal(a):

#3 05. 04. 2010 21:17

Re: stejnoměrná konvergence funkčních posloupností

Zápatí