Matematické Fórum

BakyX · 08. 04. 2010 18:18

Napíš najmenší zlomok, ktorého hodnota je rovná číslu, v ktorom sa pravidelne opakuje jedno číslo, zložené z 1000 číslic.

Teoreticky by som to také číslo mohol napísať a previesť na zlomok. Ale čo v praxi :D ?

lukaszh · 09. 04. 2010 12:28

↑ BakyX:

V praxi sa to robí tak isto :-) Práveže tá teória je celkom praktická. Nechápem ale zadaniu, to číslo sa opakuje v desatinnom rozvoji? Napríklad

0.1234123412341234... ?

Potom to nebude taká náročná úloha.

BakyX · 09. 04. 2010 12:58

Ano je to tak..ale Opakuje sa 1000 cislie

lukaszh · 09. 04. 2010 13:20

↑ BakyX:

Budem to pre zjednodušenie ukazovať na opakovaní 10 číslic. Ak sa má opakovať číslo, tak nesmie začínať nulou. Ak to teda dobre chápem. Nie sú teda dobré čísla typu

0.000000000100000000010000000001...

Najmenšie, ktoré vyhovuje je teda

0.100000000010000000001000000000...

Opakujeme číslo 1 miliarda. Potrebujeme ho vyjadriť ako zlomok. To sa robí tak, že sčítame členy geometrickej postupnosti

0.1
0.00000000001
0.000000000000000000001
0.0000000000000000000000000000001
.
.
.
atď.

Teraz si to predstavíme, ako keby tam tých núl v perióde bolo 1000. Už to teda nie je miliarda, ale $m=10^{1000}$ . Hľadaný zlomok je súčet

$Z=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{m}{(10\cdot m)^{n}}=m\cdot\sum_{n=1}^{\infty}$\frac{1}{10\cdot m}$^{n}=\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10\cdot m}}=\boxed{\frac{m}{10\cdot m-1}}$

Pre viac informácií: Geometric Series - Wikipedia.org

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2010 18:18

Napíš zlomok..

#2 09. 04. 2010 12:28

Re: Napíš zlomok..

#3 09. 04. 2010 12:58

Re: Napíš zlomok..

#4 09. 04. 2010 13:20

Re: Napíš zlomok..

Zápatí