Matematické Fórum

slevin · 14. 04. 2010 22:52

Dobrý den,

rád bych požádal veškeré matematické pomocníky o pomoc. Jedná se o analytickou geometrii, konkrétně elipsa. Potřeboval bych vysvětlit pár příkladů (prosím podrobný postup, jak říkám rád bych tomu porozuměl). Děkuji mnohokrát!

1) Určete souřadnice ohnisek, délky hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu elipsy dané rovnicí: 16x^2 + 25y^2 = 400

2) Elipsa je dána rovnicí 4x^2 + 9y^2 = 36. Najděte její společné body s přímkou, která má rovnici: 2x + 3y - 6 = 0

3) Určete souřadnice společných bodů přímky a elipsy, jsou-li dány jejich rovnice: 3x - 4y - 3 = 0; 3x^2 + 5y^2 = 120

gadgetka · 14. 04. 2010 23:41

3) Řešíš soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
$3x-4y-3=0\nl 3x^2+5y^2=120$

z první rovnice osamostatníš např. $y=\frac{3(x-1)}{4}$ a dosadíš to do 2. rovnice:

$3x^2+5$\frac{3(x-1)}{4}$^2-120=0\nl3x^2+5$\frac{9x^2-18x+9}{16}$-120=0|\cdot16\nl48x^2+45x^2-90x+45-1920=0\nl93x^2-90x-1875=0|:3\nl31x^2-30x-625=0\nlx_{1,2}=\frac{30\pm \sqrt{900+77500}}{62}=\frac{30\pm 280}{62}\nlx_1=5\nlx_2=-\frac{125}{31}$

Zbytek už zvládneš sám.

Chrpa · 15. 04. 2010 09:23 — Editoval Chrpa (15. 04. 2010 12:22)

↑ slevin:
Př.1)
$16x^2+25y^2=400\nl\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\nla^2=25\nla=5\nlb^2=16\nlb=4\nle^2=a^2-b^2\nle^2=25-16\nle^2=9\nle=3$
Řešení:
$a=5\nlb=4\nle=3$
Obrázek

Chrpa · 15. 04. 2010 09:37 — Editoval Chrpa (15. 04. 2010 09:44)

↑ slevin:
Př.2)
$4x^2+9y^2=36$
$2x+3y-6=0\nly=\frac{6-2x}{3}\nly^2=\frac{4x^2-24x+36}{9}\nl9y^2=4x^2-24x+36$ dosadíme do rovnice elipsy
$x^2+9y^2=36\nl4x^2+4x^2-24x+36=36\nl8x^2-24x=0\nlx^2-3x=0\nlx(x-3)=0\nlx_1=0\nlx_2=3$
$y=\frac{6-2x}{3}\nly_1=\frac{6-2\cdot 0}{3}\nly_1=2\nly_2=\frac{6-2\cdot 3}{3}\nly_2=0$
Průsečíky:
$P_1(0;\,2)\nlP_2(3;\,0)$
Obrázek