Matematické Fórum

rikri · 19. 02. 2008 08:20

Ahoj, potřebovala bych poradit s odvozením vzorce pro výpočet objemu jehlanu, vím, že potřebuju zjistit obsah jeho průřezu a s tím mám problémy. Následnou integraci obsahu průřezu snad zvládnu, tak se tím nemusíte zdržovat. Děkuju

thriller · 19. 02. 2008 08:24

nevznikne nahodou jehlan tak, ze nechas rotovat cast primky y=ax kolem osy x? Objem takovyho rotacniho telesa se pak pocita nejak jako pi*integral z kvadratu ty funkce.. pak dostanes tech (pi*v*r^2)/3

plisna · 19. 02. 2008 09:27

to thriller: to, co popisujes ty, je kuzel, otazka se ale tyka jehlanu :)

rikri · 19. 02. 2008 09:33

ano, opravdu se otázka týká jehlanu, který rotací nevzniká

plisna · 19. 02. 2008 10:10

pro pravidelny jehlan se ctvercovou podstavou to lze udelat takto: budeme pocitat pouze osminu objemu, jehoz zakladnou je prvni oktant. pak je zrejme, ze pro nasi oblast bude platit $x \in \left( 0, \frac{a}{2} \right), \quad y \in (0, x)$ , kde $a$ je delka hrany podstavy. pak je treba zavzpominat na analytiku a vyjadrit si rovinu, kterou je oblast omezena "shora", tedy ve smeru osy z. ja jsem si nasel tri body, kterymi rovina prochazi: $\left[ \frac{a}{2}, - \frac{a}{2}, 0 \right], \quad \left[ \frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0 \right], [0,0,v]$ , kde $v$ je vyska jehlanu. z techto tri bodu si spocitame rovinu $-avx - \frac{a^2}{2}z + \frac{a^2}{2}v = 0$ a vyjadrime $z=v - \frac{2v}{a}x$ , cimz jsme ziskali posleni meze oblasti: $z \in \left( 0, v - \frac{2v}{a}x \right)$ . pak objem jedne osminy jehlanu spocteme jako $V' = \iiint \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \int_0^{a/2} \int_0^x \int_0^{v-\frac{2vx}{a}} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \dots = \frac{a^2 v}{24}$ . objem celeho jehlanu je pak $V = 8 V' = \frac{a^2 v}{3}$ .

thriller · 19. 02. 2008 12:34

Ahoj, tak sem si byl kupovat oblek a při té příležitosti jsem objevil, že objem libovolného jehlanu by měl být S.v/3, kde S je plocha podstavy. Vykoukal jsem totiž, že obsah průřezu takovýho jehlanu v závislosti va výšce řezu nad podstavou je $S(z)=S(0) (\frac{z}{v})^2$ a objem by pak měl být $\int_0^v S(z) dz = \frac{S(0)}{v^2} \int_0^v z^2dz = \frac{S(0) v}{3}$

rikri · 20. 02. 2008 22:01

Ahoj, děkuji za rady! Osminy jsou teda na mě moc složité :-( druhý postup se mi zdá lehčí, i když teda netuším, jaks přišel v obsahu přůřezu na (z/v)^2. Ale ten jeden krok se dá zapamatovat :-)

robert.marik · 20. 02. 2008 22:08

Je to opravdu velice velice chytrý!! Co člověka nenapadne při kupování obleku!

Pokud jsou délky větší k-krát, jsou plochy větší k^2 krát, objemy k^3 krát. Proto ta druhá mocnina.

Matematické Fórum

#1 19. 02. 2008 08:20

Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#2 19. 02. 2008 08:24

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#3 19. 02. 2008 09:27

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#4 19. 02. 2008 09:33

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#5 19. 02. 2008 10:10

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#6 19. 02. 2008 12:34

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#7 20. 02. 2008 22:01

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

#8 20. 02. 2008 22:08

Re: Odvození vzorce pro výpočet objemu jehlanu

Zápatí