Matematické Fórum

Sergej · 20. 02. 2008 09:05

Ahoj, poradí mi někdo jak vyřešit následující rovnici:

$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$

A? to počítam jak to počítam vždy mi to vyjde špatně.

thriller

Tak, nejdřív sem to různě umocňoval, upravoval, ale, když už mi začínaly vycházet čísla přesahující 1000, tak sem si řekl DOST! a vytáhl jsem z rukávu následující trik:
použil jsem substituci (kouzelné a na střední nenáviděné slovo) $\sqrt{x-1} = a$ takže ty části pod odmocninou se pak dají upravit na čtverec, ale abych nepředbíhal:
$\sqrt{x-1+5-4\sqrt{x-1}} + \sqrt{x-1 +9 -6\sqrt{x-1}} =1$
$\sqrt{a^2-4a+4} + \sqrt{a^2 -6a +9} = 1$
$a-2 +a-3 =1$
$a=3$
$\sqrt{x-1}=3$ $/^2$
$x-1=9$
$x=10$
zkouška sedí, ale není to jediný výsledek..

Sergej · 20. 02. 2008 10:05

Výsledkem je interval <5,10>, ale k tomu už dospěji snadno, nevšiml jsem si toho vzorečku co se objeví po substituci, díky.

lukaszh · 20. 02. 2008 10:14

Ešte to má jedno riešenie.
$\sqrt{a^2-4a+4} + \sqrt{a^2 -6a +9} = 1$
Tu plati:
$|a-2|+|a-3|=1$
Potom je to rovnica s absolutnou hodnotou. Riešenia sú:
$\sqrt{x-1}=2$
$\sqrt{x-1}=3$
$x_1=5$
$x_2=10$

Sergej · 20. 02. 2008 10:59

↑ lukaszh:
Ještě doplním že řešením rovnice $\left| a-2 \right|+\left| a-3 \right|=1$ jsou všechna $a \in \langle 2,3 \rangle$ takže i řešením zavedené substituce $\sqrt{x-1}=a$ jsou všechny $a \in \langle 2,3 \rangle$ . Což ve výsledku dává že řešením rovnice $\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1$ jsou $x \in \langle 5,10 \rangle$ .