Matematické Fórum

zdenek1 · 02. 05. 2010 16:49

↑↑ ksimca:
2j
$\frac{10-i+7i^2}{i^3+i^4+3i^5}=\frac{10-i-7}{-i+1+3i}=\frac{3-i}{1+2i}$
$\frac{3-i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{3-6i-i-2}5=\frac{1-7i}5$

ksimca · 02. 05. 2010 18:05

↑ zdenek1: muzu poprosit o radu se cvicenim číslo 7?

jelena · 03. 05. 2010 00:07

↑ ksimca:

Zdravím,

cvičení číslo 7 obsahuje celkem 12 úloh.

Úlohy a až d jsou postaveny na tom, že komplexní číslo zapíšeš jako $z=a+b\mathrm{i}$ , případně komplexně sdružené jako $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$ a po úpravách porovnáš reálnou a imaginární část, tak najdeš hodnotu a, b.

Úlohy e - h, k, l jsou z okruhu Řešení kvadratických rovnic v oboru komlexních čísel - viz odkaz.

Úlohy i, j je řešení binomických rovnic v oboru komplexních čísel - viz odkaz.

Zakladej, prosím, samostatné téma pro každý dotaz, jinak se v tom nedá vyznat. Děkuji

zdenek1 · 03. 05. 2010 07:43

↑ ksimca:
doplním Jelenu: i) a j) samozřejmě můžeš počítat jako binomické rce, ale je to zbytečně komplikované.Lepší je udělat rozklad podle vzorců
i) $z^3+1=0$
$z^3+1=(z+1)(z^2-z+1)=0$
první závorka je jasná, druhá je kvadratická rovnice.

j) $z^4-1=0$
$z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z+1)(z-1)(z^2-i^2)=(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)=0$

jelena · 03. 05. 2010 09:30

↑ zdenek1:

Děkuji a zdravím,

máš naprostou pravdu - původně jsem si myslela, že tam přidali úlohy na použití binomické rovnice, ale tak, jak jsou úlohy za sebou, tak je to všechno na rozklad do součinu.

ksimca · 03. 05. 2010 09:31

Aha, nejak tomu nerozumim, prosím jestli byste mi ukazali alespon prvni priklad...

zdenek1 · 03. 05. 2010 09:51

↑ ksimca:
$iz+3\bar z=1-13i$
$i(a+bi)+3(a-bi)=1-13i$
$ai-b+3a-3bi=1-13i$ reálné části se musí rovnat, stejně tak imaginární

vyřešíš soustavu
$a=2$
$b=5$
$z=2+5i$

ksimca · 03. 05. 2010 09:59

proč mi v soustavě vychází stále 10a=-12 a nebo 8b=-12 ???

jelena · 03. 05. 2010 10:03

↑ ksimca:

Protože zapomínaš násobit pravou stranu také. A píš, prosím, celou svou soustavu. Kdo má patrat v které soustavě komu co vychází. Děkuji.

ksimca · 03. 05. 2010 10:14

Děkuju mockrát, aritmetická tedy chápu, muzu tedy jeste poprosit o goniometricka cisla? Opet vysledky mam, ale bez postupu mi jsou na nic

frank_horrigan

↑ ksimca:

Goniometricky tvar nemám úplně zažitý, opět ti zkusím dát odkaz, ze kterého možná něco pochopíš : http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/s … ricky.html , a zkusim ti dát po lopate vysvetleny postup - až tedy prijdu na to, jak to vysvetlit tak, abys to pochopila ;)

EDIT: podstatné budou tyto vzorce:

Kde absolutní hodnota ze z je to číslo před závorkou, pokud žádné není, jde o komplexní jednotku (uz bys mela vedet, co to je) :)

EDIT2: tedy, u prvního příkladu si jenom vypočítej ty hodnoty cos pi/6 $\frac{sqrt3}{2}$ a sin pi/6 (0.5), z toho dostanes algebratvar :) Podobně jako u tech ostatních

EDIT3: u 1b) musíš uvažovat s tou absolutní hodnotou, tedy vypočítej si hodnotu argumentu sin/coc, a tu potom poděl tou abs. hodnotou, tou pred zavorkou, konkrétně: $\frac{1}{2} + \frac{i.sqrt3}{2}$ , kazdy z nich podelis 3, vyjde $\frac{1}{6} + \frac{i}{2sqrt3}$ . Snad pochopila >]

frank_horrigan

Obrácený postup (II.cviceni) funguje asi následovne. Vypočítáš si absolutní hodnotu (to uz umis, pythagoras). Podle znamínek si urcíš kvadrant, ve kterém ti to číslo leží (jednoduse, a+bi je I, a+bi je II, -a-bi je III a -a+bi je IV. kvadrant. Pro I. kvadrant platí toto: $tan \phi = \frac{b}{a]$ . Protoze cislo vsak lez9 ve tretím (resp. na hrane tretího a ctvrtého, je přece $..+0i$ ), tak úhel, který ti vyjde, preved do III. kvadrantu, pripočtením 180° (nebo $\pi$ ) - je fuk, v jakych to máš jednotkách, zaleží na profesorovi v cem to chce. Dál uz je to jednoduché, $z = cos \phi + i.sin\phi$ , konkrétně pro první příklad $z = cos 270\° + i.sin 270\° = cos 3\pi + i. sin 3\pi$ . Pochopeno? Edit: ty nesmysly \?? maji byt znacky stupnu, casem to opravim, ted se snazim o konstruktivni vyklad :D

frank_horrigan · 03. 05. 2010 11:08

U třetího cvičení: budto je problém se znaménky, nebo argumenty sin a cos nejsou stejné, coz byt museji. Ten soucinitel, pred zavorkou musí být kladny, respektive on se dá udělat, je to absolutní hodnota. Stejne tak argumenty sin a cos musi být kladný, vyuzij sudost kosinu a lichost sinu (snad zmaknes), nic slozitého

ad 4 a 5) Osobně bych si převedl obě čísla na algebratvar a pak s nima provedl co mám - zkusím najít nejaké postupy, jak to udělat v goniotvaru (asi to bude snazsi, leč neznám, zatím) :)

frank_horrigan

Ad 4) ja kdybych neměl strejdu gúgla, jsem odepsanej frajer :D

Samozrejme, ze je to jednoduchý. U násobení pronásobíš absolutní hodnoty mezi sebou a posčítáš úhly mezi sebou
U dělení podobná analogie, podělíš absolutní hodnoty mezi sebou, a odečtes od sebe úhle :)

Obecné vzorce a řešené první příklady přijdou záhy:

EDIT: mějme dvě čísla v goniotvaru, třeba $|x|(cos\phi + i.sin\phi)$ a $|y|(cos\omega + i.sin\omega)$
jejich součin vypadá takto: $|xy|(cos(\phi + \omega) + i.sin(\phi + \omega)$
jejich podíl se dělá následovně: $\frac{|x|}{|y|}(cos(\phi - \omega) + (i.sin(\phi - \omega))$

Myslím, ze je to jasné. Od každého jeden vypočítám:

$6(cos(\frac{2.\pi}{3})+ i.sin(\frac{2\pi}{3})) / 3(cos (\frac{\pi}{6}) + i.sin (\frac{\pi}{6})) = 2(cos (\frac{4\pi-\pi}{6}) + i.sin (\frac{4\pi-\pi}{6}) = 2(cos (\frac{3\pi}{6}) + i.sin (\frac{3\pi}{6})) = 2(cos(\frac{\pi}{2}) + i.sin(\frac{\pi}{2}$ // to je podíl, puvodne jsem pocital soucin, sem si to blbe opsal :) - do algebratvaru uz to hodit predpokladam zmaknes

Ten součin:

$2(cos(\frac{\pi}{3}) + i.sin(\frac{\pi}{3})) * (3(cos(\frac{2\pi}{3}) + i.sin(\frac{2\pi}{3})) = 6(cos(\frac{\pi+2\pi}{3}) + i.sin(\frac{\pi+2\pi}{3})) = 6(cos \pi + i.sin \pi)$ - algebratvar zvladnes :)

frank_horrigan · 03. 05. 2010 12:38

Moivreovu vetu hledam a ucim se s ni pracovat, pořádně neznam :) - az na neco prijdu, tak to sem dam, pokud nekdo s kolegu nebude rychlejsi :) Binomiku ti neudelam, neumim to řešit ani v R - od toho utíkám na míle daleko :-D

frank_horrigan

Ok, takze toho Moivrea: Veta zni takto: $http://upload.wikimedia.org/math/7/2/e/72e9eb8fe5c491c6bc236cb67a838897.png$ .
Tak to tak zneužijeme. Číslo si převeď do goniotvaru, na nej hod vyse zminenou vetu a převeď zpět do algebratvaru.

Konkrétně tedy: 1+i -> $tan \phi = 1 , \phi = 45° = \frac{\pi}{4}$

Absolutní hodnota bude $sqrt2$ , neboli $sqrt{1^2+1^2}$

Číslo v goniotvaru tedy bude $sqrt2(cos(\frac{\pi}{4} + i.sin(\frac{\pi}{4}))$

Ted na to podle moiverovy věty dáme tu devátou mocninu:

$sqrt{2^9}(cos(\frac{9\pi}{4}) + i.sin(\frac{9\pi}{4})) = 16sqrt2(cos(\frac{9\pi}{4}) + i.sin(\frac{9\pi}{4}))$ Dál už bys to mohla dopočítat... //tenhle vysledek se mi teda vubec nelibi, jeste zkusim neco pohledat :)

ksimca · 03. 05. 2010 13:42 — Editoval ksimca (03. 05. 2010 13:49)

jsem do toho hrozne zamotana...:( ke druhému cvičení: jak mohu určit absolutní hodnotu(pythagoras) když znám jen Z... a k vzorci potřebuju znát a, b???

frank_horrigan · 03. 05. 2010 13:49

Dobre, asi jediny zpusob, jak se odmotáš je, kdyz si vezmes nejaky příklad z toho naskenovanyho, a podle toho postupu, co jsem ti dal, si spocitas. Pokud ti neco nebude jasne (snazil jsem se o co nejjednodussí, takze to snad nenastane), tak se zeptas na konkretni vec, co ti neni jasna. Pokud ti to i presto nebude vycházet, oskenuj nebo opis, co (a jak) jsi vypocitala, tu chybu najdeme a odstranime :)

ksimca · 03. 05. 2010 14:06

takže sem jsem se dostala... opravdu nerozumim, proc nekdy je cos, nekdy tang, jindy zase sin... na te strance http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/s … ricky.html je to krasne ukazano na prikladech ale nevysvetleno proc...

frank_horrigan

Ok, to béčko: Udělej si z toho zápis $0+i*sqrt6$ . Na tom uvidíš celý ten vzorec, bude tedy $|z| = sqrt{0^2+sqrt6^2} = sqrt6$

Dále víš, že kdyz máš číslo ryze imaginární, tak jeho úhel je 90° (resp. 270° pro záporné. Takze absolutní hodnotu máš sqrt6, goniometrickou složku máš 90°, neboli $\frac{\pi}{2}. Dokážeš zapsat??? Jinak, s tema funkcema: cos, sin je jasny, cosinus "reálné složky" a sinus imaginární. Tangents používáš proto, aby jsi zjistila úhel, jehoz cosinus a sinus pak povedes v goniotvaru :)

ksimca · 03. 05. 2010 14:28

frank_horrigan · 03. 05. 2010 14:30

↑ ksimca:

Jak jsi prisla na to, PI??? máš úhel 90°, to je PI/2 :)

ksimca · 03. 05. 2010 14:34

dobře, ok.. a jak přijdu na to, že mam zrovna uhel takovyto?

frank_horrigan

↑ ksimca:

Ok, takze: urcujes uhel bud: pomocí tangents, kdy podělíš img. cast tou reálnou (vzorec jsem dával výše). Nebo, pokud máš číslo ryze reálné, úhel bude 0°, je-li ryze reálné záporné, úhel máš 180°, neboli $\pi$ . U čísel ryze imaginárních, kladných máš úhel 90°, neboli $\frac{\pi}{2}$ . U ryze imaginárních záporných máš úhel 270°, neboli $\frac{3\pi}{2}$ . Krásně to pochopíš, kdyz si namalujes graf, uz jsem ti říkal, jak to v ty gaussovy rovine funguje. reálná nanášíš na X-osu, kladná doprava, imaginární na Y-osu, kladná nahoru. Úhle měříš levotočivě s počátkem na kladné x. Jasné, nebo ješte to mám zkusit líp? (Asi tím obrázkem)

jarrro · 03. 05. 2010 14:44

vydelíš to absolutnou hodnotou a hľadáš uhol kde sedia sínusy a kosínusy

Matematické Fórum

#26 02. 05. 2010 16:49

Re: komplexni cisla

#27 02. 05. 2010 18:05

Re: komplexni cisla

#28 03. 05. 2010 00:07

Re: komplexni cisla

#29 03. 05. 2010 07:43

Re: komplexni cisla

#30 03. 05. 2010 09:30

Re: komplexni cisla

#31 03. 05. 2010 09:31

Re: komplexni cisla

#32 03. 05. 2010 09:51

Re: komplexni cisla

#33 03. 05. 2010 09:59

Re: komplexni cisla

#34 03. 05. 2010 10:03

Re: komplexni cisla

#35 03. 05. 2010 10:14

Re: komplexni cisla

#36 03. 05. 2010 10:29 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 10:49)

Re: komplexni cisla

#37 03. 05. 2010 11:01 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 11:03)

Re: komplexni cisla

#38 03. 05. 2010 11:08

Re: komplexni cisla

#39 03. 05. 2010 11:22 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 12:16)

Re: komplexni cisla

#40 03. 05. 2010 12:38

Re: komplexni cisla

#41 03. 05. 2010 13:16 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 13:24)

Re: komplexni cisla

#42 03. 05. 2010 13:42 — Editoval ksimca (03. 05. 2010 13:49)

Re: komplexni cisla

#43 03. 05. 2010 13:49

Re: komplexni cisla

#44 03. 05. 2010 14:06

Re: komplexni cisla

#45 03. 05. 2010 14:20 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 14:29)

Re: komplexni cisla

#46 03. 05. 2010 14:28

Re: komplexni cisla

#47 03. 05. 2010 14:30

Re: komplexni cisla

#48 03. 05. 2010 14:34

Re: komplexni cisla

#49 03. 05. 2010 14:39 — Editoval frank_horrigan (03. 05. 2010 14:42)

Re: komplexni cisla

#50 03. 05. 2010 14:44

Re: komplexni cisla

Zápatí