Matematické Fórum

BakyX · 03. 05. 2010 18:37

Dobrý..Mám problém s tuto geometrickou úlohou:

Štvorec ABCD a obdĺžnik AEFD majú takú vzájomnú polohu, že bod B leží na kružnici
vpísanej trojuholníku AEF. Vypočítajte pomer dĺžky a šírky obdĺžnika AEFD.

Ivana · 03. 05. 2010 22:18

↑ BakyX:Je dobré začít obrázkem :

Doxxik · 03. 05. 2010 22:46 — Editoval Doxxik (03. 05. 2010 22:48)

↑ Ivana: a nevadí, že tam jsou dva body D?

edit: já si to představuji tak, že mám čtverec, ten pak "prodloužím" na obdélník -> bod B bude vlastně bodem dotyku kružnice vepsané onomu trojúhelníku a strany AE (resp. AB)

Ivana · 04. 05. 2010 07:25

↑ Doxxik:Ano, vidím bod D dvakrát , já si toho včera nevšimla, pak povede možná tvůj návrh k výsledku. :-)

medvidek · 04. 05. 2010 18:56

↑ BakyX:

Stranu čtverce ABCD si zvolíme pro jednoduchost o délce $1$ . Úhel SAB označíme jako $x$ , poloměr kružnice označíme $r$ .
Platí tyto goniometrické vztahy:
$tg (x) = \frac{SB}{AB}=r$ (1)
$tg (2x) = \frac{EF}{AE}=\frac{1}{1+r}$ (2)
To jsou 2 rovnice o dvou neznámých. Abychom je vyřešili, použijeme následující součtový vzorec
$tg(2x)=\frac{2 tg(x)}{1-tg^2(x)}$
Na levou stranu dosadíme ze vztahu (2), na pravou ze vztahu (1):
$\frac{1}{1+r}=\frac{2r}{1-r^2}$
Z toho už $r$ spočte každý :-)
$r=\frac{1}{3}$ , poměr stran obdélníku $\frac{AE}{EF}=\frac{1+r}{1}=\frac{4}{3}$