Matematické Fórum

ajucha · 16. 05. 2010 15:33

Mám matici: 1 2 0
3 -1 2
0 1 1 A mám najít všechny matice B, tak aby platilo: A.B=B.A.

Tak jedna je určitě jednotková matice a jak najdu ty ostatní? Stačilo by rozepsat to, že bych matici A vynásobila s maticí, která má 9 neznámých (X11,X12,X13,X21,X22,.... ) a na pravé straně to samé a vyjdou mi vlastně na pravé i levé straně stejné vysledky, tak bych řekla, že 9 neznáchých X je z reálných čísel?

jarrro · 16. 05. 2010 15:54

hej a dostaneš sústavu ktorú vyriešiš

ajucha · 16. 05. 2010 16:14

aha, takže pak mi vznikne soustava o 9 neznámých, takže když mám najít všechny matice B, tak aby bylo A.B=B.A, tak to mi vyjdou jen 2 matice? ta jednotková a druhá, kterou vyřeším ze soustavy?

Nebo nebylo by také možné vypočítat inverzní matici k A (pomocí determinantu a algebraickýho doplnku)?

jarrro · 16. 05. 2010 16:23

ja som ani neriešiltú sústavu,ale viem,že riešení je nekonečne veľa lebo matica $\begin{pmatrix}t && 0 && 0\nl0 && t && 0\nl0 && 0 && t\end{pmatrix}$
pre každé reálne t je dobrá vyriešením sústavy možno prídeš aj na iné možno nie neviem neriešil som

ajucha · 16. 05. 2010 16:29

↑ jarrro:

a kdybych tu matici A vynásobila maticí B, která by tedy měla 9 neznámých a pak napsala, že všech 9 neznámých x je z reálných čísel, tak to ne??

jarrro · 16. 05. 2010 16:39 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 16:47)

akože každá matica komutuje s danou? to nie je pravda skús napr maticu so samých jednotiek tá nekomutuje s danou maticou

ajucha · 16. 05. 2010 17:34

Neporadil by jste mi ještě někdo? já na to nemůžu zaboha přijít :(

jarrro · 16. 05. 2010 18:01 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 18:08)

vyrieš tú sústavu
$\begin{pmatrix}x_{1,1} && x_{1,2} && x_{1,3}\nlx_{2,1} && x_{2,2} && x_{2,3}\nlx_{3,1} && x_{3,2} && x_{3,3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 && 2 && 0\nl3 && -1 && 2\nl0 && 1 && 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 && 2 && 0\nl3 && -1 && 2\nl0 && 1 && 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1,1} && x_{1,2} && x_{1,3}\nlx_{2,1} && x_{2,2} && x_{2,3}\nlx_{3,1} && x_{3,2} && x_{3,3}\end{pmatrix}$ vynásob a porovnaj prvok po prvku vynikne sústava a vyrieš ju

ajucha · 16. 05. 2010 18:25

↑ jarrro:

takže se nemá rovnat leva a pravá strana?

A když mám najít všechny řešení matice B, tak to budou teda jen 2 řešení?

jarrro · 16. 05. 2010 18:31

akože nemá rovnať práveže sa podľa zadania musí rovnať nie 2 riešenia ale nekonečne veľa ako som napísal určite každý reálny násobok jednotkovej matice a neviem či aj iné lebo som sústavu neriešil

ajucha · 16. 05. 2010 18:32

↑ jarrro:

tak bud blbe pocitam, nebo fakt nevím, protože soustava mi vyšla u všech neznámých nula...

jarrro · 16. 05. 2010 18:55 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 19:01)

aká sústava ti vyšla? mne vyšla z hodnosťou 6 teda nie len jedno riešenie

ajucha · 16. 05. 2010 19:00

↑ jarrro:

vynásobím normálně ty dve strany a a pak dam prvek na miste a11 do rovnosti s prvkem a11 na druhé straně atd... a mam soustavu 9 rovnic, no ale zadny cisla, jen proste xka...

jarrro · 16. 05. 2010 19:11

↑ ajucha:áno a ak som sa nepomýlil tak ma tica sústavy je
$\begin{pmatrix}0 && 3 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0 && 0 && 0\nl2 && -2 && 1 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0 && 0\nl0 && 2 && 0 && 0 && 0 && -2 && 0 && 0 && 0\nl-3 && 0 && 0 && 2 && 3 && 0 && -2 && 0 && 0\nl0 && -3 && 0 && 2 && 0 && 1 && 0 && -2 && 0\nl0 && 0 && -3 && 0 && 2 && 2 && 0 && 0 && -2\nl0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 0 && 0 && 3 && 0\nl0 && 0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 2 && -2 && 1\nl0 && 0 && 0 && 0 && 0 && -1 && 0 && 2 && 0 \end{pmatrix}$ a pravou stranou nulovou matica sústavy má hodnoť 6 teda nie je tam len nulové riešenie

Pavel Brožek

Řešit to jako soustavu je jistě možné, ale mně to přijde nezajímavé :-). Co takhle:

Matice A má různá vlastní čísla $a_i$ (o tom se přesvědčíme výpočtem). Požadujeme $AB=BA$ , proto pro každý vlastní vektor $v_i$ matice A, jemuž přísluší vlastní číslo $a_i$ , platí

$A(Bv_i)=BAv_i=Ba_iv_i=a_iBv_i=a_i(Bv_i)$ .

Vektor $Bv_i$ je tedy vlastní vektor matice $A$ . Protože dimenze podprostoru vlastního čísla $a_i$ je jedna (každé vlastní číslo matice A je pouze jednonásobným kořenem charakteristického polynomu - v této úloze), je vektor $Bv_i$ násobkem (označme konstantu úměrnosti $b_i$ ) vektoru $v_i$ , tedy

$Bv_i=b_iv_i$ .

Matice B má tedy stejné vlastní vektory jako matice A. Snadno už sestrojíme obecnou matici s těmito vlastními vektory a obecnými vlastními čísly $b_i$ . Dá se také snadno ukázat, že každá takto sestrojená matice už bude splňovat podmínku $AB=BA$ .

Vlastní čísla $b_i$ jsou v tomto případě tři, takže dimenze prostoru matic, které vyhovují AB=BA bude tři.

Dalsi Uzivatelske Jmeno · 15. 04. 2012 17:35

↑ jarrro:

Zkouším si tuhle matici vyřešit, něco mi vyšlo, ale teď nevím, co s tím... Tři řádky mi vypadly a zbylo mi tohle:

-2 2 -1 0 2 0 0 0 0 / 0
0 6 -3 -4 0 0 4 0 0 / 0
0 0 -3 0 0 0 4 0 0 /0
0 0 0 1 0 0 0 -3 0 /0
0 0 0 0 1 0 -2 2 -1 /0
0 0 0 0 0 1 0 -2 0 /0

nevím tedy, jestli to je správně, ale kdyby jo, co teď s tím? Když mi v tom posledním řádku zbyly dvě neznámé?

jarrro · 17. 04. 2012 10:27

tri neznáme môžeš voliť ľubovoľne

check_drummer · 10. 11. 2012 20:11

Ahoj, v souvislosti s touto úlohou mám doplňující otázky:

Pavel Brožek napsal(a):
Protože dimenze podprostoru vlastního čísla $a_i$ je jedna (každé vlastní číslo matice A je pouze jednonásobným kořenem charakteristického polynomu - v této úloze), je vektor $Bv_i$ násobkem (označme konstantu úměrnosti $b_i$ ) vektoru $v_i$

Proč prosím toto platí? Nemůže být vektor $Bv_i$ násobkem obecně jiného vektoru $v_j$ ?

Pavel Brožek napsal(a):
Matice B má tedy stejné vlastní vektory jako matice A. Snadno už sestrojíme obecnou matici s těmito vlastními vektory a obecnými vlastními čísly $b_i$ .

Jakým způsobem bys konstrukci provedl? Mě nenapadá jiná než řešit soustavu 9 rovnic o 9 neznámých...

Díky

Pavel Brožek · 10. 11. 2012 20:24

↑ check_drummer:

Ahoj,

$Bv_i$ je vlastní vektor k číslu $a_i$ (ukázal jsem $A(Bv_i)=\ldots=a_i(Bv_i)$ ).

Známe vlastně Jordanův rozklad matice B. Z toho už snadno vynásobením tří matic (matice vlastních vektorů, diagonální matice a matice inverzní k matici vlastních vektorů) dostaneme přímo B.

check_drummer · 10. 11. 2012 21:42

↑ Pavel Brožek:
Už je to jasné. Díky.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2010 15:33

komutující matice

#2 16. 05. 2010 15:54

Re: komutující matice

#3 16. 05. 2010 16:14

Re: komutující matice

#4 16. 05. 2010 16:23

Re: komutující matice

#5 16. 05. 2010 16:29

Re: komutující matice

#6 16. 05. 2010 16:39 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 16:47)

Re: komutující matice

#7 16. 05. 2010 17:34

Re: komutující matice

#8 16. 05. 2010 18:01 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 18:08)

Re: komutující matice

#9 16. 05. 2010 18:25

Re: komutující matice

#10 16. 05. 2010 18:31

Re: komutující matice

#11 16. 05. 2010 18:32

Re: komutující matice

#12 16. 05. 2010 18:55 — Editoval jarrro (16. 05. 2010 19:01)

Re: komutující matice

#13 16. 05. 2010 19:00

Re: komutující matice

#14 16. 05. 2010 19:11

Re: komutující matice

#15 16. 05. 2010 19:45 — Editoval BrozekP (16. 05. 2010 19:48)

Re: komutující matice

#16 15. 04. 2012 17:35

Re: komutující matice

#17 17. 04. 2012 10:27

Re: komutující matice

#18 10. 11. 2012 20:11

Re: komutující matice

Pavel Brožek napsal(a):

Pavel Brožek napsal(a):

#19 10. 11. 2012 20:24

Re: komutující matice

#20 10. 11. 2012 21:42

Re: komutující matice

Zápatí