Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Analytická geometrie - středy úseček (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 27. 05. 2010 15:50
- matahilis
- Příspěvky: 39
Analytická geometrie - středy úseček
Ahoj,
prosím Vás nevím si rady s tímto příkladem:
Určete souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC, známe-li středy A = [1,6] , B = [4,5] , C = [0,3]
- vím je, že tam asi použiji vzoreček na výpočet středů úseček: S=a+b/2 (obecně),ale to je tak všechno :(
Já bych ho upravila, ale neznám další body, ani jeden, jen ty středy... Pomůžete mi?
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) matahilis)
#2 27. 05. 2010 15:55 — Editoval stepan.machacek (27. 05. 2010 15:57)
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Nejsem si jistý, spíš tak přemýšlím "nahlas". Kdybyste ty tři body spojil, tak dostanete střední příčky hledaného trojúhelníka, které jsou rovnoběžné s protějšími stranami a poloviční vůči nim. Tak jestli by to nešlo nějak tudy...
Edit: předpokládám, že se jedná o středy stran.
Offline
#3 27. 05. 2010 15:56
#4 27. 05. 2010 15:58
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
To by se dalo spojit, bylo by to rovnoběžné, ale jak upřesním ty vrcholy? Nešlo by to ještě jinak? Nějak na základě toho vzorečku... Ale stějně mi tam něco chybí...
Offline
#5 27. 05. 2010 16:00
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
Jsou to středy stran BC, AC a AB. Prostě trojúhelník ABC...
Offline
#6 27. 05. 2010 16:03
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Tak abychom to upřesnili, jedná se o trojúhelník ABC a středy stran si označme KLM. Zkouším to, za chvilku napíšu víc.
Offline
#7 27. 05. 2010 16:04
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
takový nepovedený obrázek, jen pro představu, spojila jsem ty středy
Offline
#8 27. 05. 2010 16:08
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
OK, takže středy jsou ABC a hledaný trojúhelník KLM :)
Tak zkuste sestavit vektor CB, tím zjistíte směrový vektor přímky procházející bodem A. Tento bod A dosaďte do rovnice přímky a dopočítáte koeficient c a tím dostanete rovnici přímky. To udělejte pro všechny tři přímky.
Pak stačí najít průsečíky přímek (tři soustavy dvou rovnic o dvou neznámých).
Offline
#9 27. 05. 2010 16:12
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
Teď se nesmát, jsem zelenáč:) Takže CB = B-C = (0-4, 3-5) = (-4,-2) a cože s tím bodem A?
Offline
#10 27. 05. 2010 16:15 — Editoval stepan.machacek (27. 05. 2010 16:19)
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Umíte sestavit rovnici přímky, znáte-li její směrový vektor a bod ležící na přímce? Protože to teď musíte udělat. Tak jde o to, jak moc podrobně to mám vysvětlovat.
Offline
#11 27. 05. 2010 16:21 — Editoval matahilis (27. 05. 2010 16:23)
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
ax + bc + c = 0
-4x - 2y + c = 0 - takhle by mohla být ta rovnice přímky, že?
Teď dosadím to A: (-4).1 + (-2).6 + c = 0
-4 -12 = -c /.(-1)
16 = c je to tak?
Takže to bude vypadat tak, že: -4x - 2y + 16 = c ... co dál? Analytická geometrie není moje silná stránka...
Offline
#12 27. 05. 2010 16:23 — Editoval stepan.machacek (27. 05. 2010 16:25)
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Postup máte dobře až na jednu podstatnou věc. Tvoříte obecnou rovnici přímky a v ní na místech koeficientů a, b je normálový vektor dané přímky, nikolic směrový. Takže vy z toho směrového (-4, -2) musíte udělat normálový. Stačí prohodit čísla a u jednoho změnit znaménko.
Offline
#13 27. 05. 2010 16:27 — Editoval matahilis (27. 05. 2010 16:27)
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
matahilis napsal(a):
ax + bc + c = 0
-4x - 2y + c = 0 - takhle by mohla být ta rovnice přímky, že?
Teď dosadím to A: (-4).1 + (-2).6 + c = 0
-4 -12 = -c /.(-1)
16 = c je to tak?
Takže to bude vypadat tak, že: -4x - 2y + 16 = c ... co dál? Analytická geometrie není moje silná stránka...
normálový tedy bude (-4,2), tím pádem -4x + 12y + 16 = 0 (předítm jsem tam měla chybku 2.6 = 12)
Offline
#14 27. 05. 2010 16:30
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Normálový vektor bude buďto (2, -4) nebo (-2, 4), obě varianty jsou správně. Ten koeficient c pak bude jiný (po dosazení bodu A do rovnice).
Offline
#15 27. 05. 2010 16:34
- matahilis
- Příspěvky: 39
Re: Analytická geometrie - středy úseček
Takže ještě jednou: -2x + 4y + c = 0
dosadím A: (-2)1 + 4.6 + c = 0
-2 + 24 = - c
c = -22
rovnice: -2x + 4y - 22 = 0
takhle si udělám i ostatní a potom sečtu, odečtu? řeším jako soustavu rovnic?
Offline
#16 27. 05. 2010 16:40 — Editoval stepan.machacek (27. 05. 2010 16:49)
- teolog
- Místo: Praha
- Příspěvky: 3497
- Škola: MFF + PřF UK
- Pozice: Gymnázium Přírodní škola - učitel (M, Z)
- Reputace: 167
Re: Analytická geometrie - středy úseček
↑ matahilis:
Teď je ta rovnice dobře. Jak píšete, udělejte to i pro další strany, takže získáte celkem tři rovnice tří přímek. A vždy si z těch tří rovnic vyberte dvě a řešte je jako soustavu dvou rovnic. Takové dvojice budou tři (tři průsečíky), což jso právě tři hledané body - vrcholy trojúhelníka KLM.
Už musím běžet, pro kontrolu tady napíšu výsledek. A pokud to bude jasné a bude to v pořádku, označte, prosím, téma jako vyřešené.
Hodně zdaru!
A dejte vědět, jestli Vám to vyšlo.
Offline
#18 27. 05. 2010 17:03
Re: Analytická geometrie - středy úseček
Jiný způsob.
Máme body K, L, M (středy stran trojúhelníka ABC) .
Trojúh. KLM (eventuálně až na permutaci bodů) je stejnolehlý s trojúh. ABC,
Středem stejnolehlosti je společné těžiště T obou těchto trojúhelníků, koeficientem -1/2 . Při tom T = (1/3)(K + L + M) .
Je-li A "protějškem" k bodu K (tak, aby AK byla těžnice v trojúh. ABC) , pak musí platit A - T = -2(K - T)
atd.
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Střední škola
- » Analytická geometrie - středy úseček (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)