Matematické Fórum

BakyX · 31. 05. 2010 11:53 — Editoval BakyX (26. 11. 2010 20:27)

Číslo $1997^{{2}^n-1}$ je deliteľné $2^{n+2}$ pre každé prirodzené číslo $n$ . Dokáž !

FailED · 31. 05. 2010 13:44 — Editoval FailED (01. 06. 2010 13:45)

↑ BakyX:
Zdravím,

v zadání má asi být $1997^{2^n}-1$ že?

$1997^{2^n}-1=$1997^{2^{n-1}}-1$\cdot$1997^{2^{n-1}}+1$=$1997^{2^{n-2}}-1$\cdot$1997^{2^{n-2}}+1$\cdot$1997^{2^{n-1}}+1$ = \nl =$1997-1$\cdot$1997+1$\cdot$1997^2+1$\cdot$1997^{2^2}+1$\cdots$1997^{2^{n-2}}+1$\cdot$1997^{2^{n-1}}+1$$
První činitel je dělitelný $4$ , dalších $n$ je sudých, číslo je tedy dělitelné $2^{n+2}$

Pro indukci by posloužil rozklad $(4m+1)^{2^{n+1}}-1=\[(4m+1)^{2^n}-1\]\cdot\[(4m+1)^{2^n}+1\]$ .