Matematické Fórum

FinAAAL · 17. 03. 2008 18:20

2 zvláštní příklady..pls poraďte

Dokažte grafickou interpretací ,že $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(a%2Bb)(b%2Bc)(a%2Bc)%20%5Cge%208abc$

Proveďte přímý důkaz věty : $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cforall%20x%2Cy%20%5Cin%20R%2B%20%3Ax%5E2y%20%2B%20xy%5E2%20%5Cle%20x%5E3%20%2B%20y%5E3%20$

jelena · 17. 03. 2008 19:04 — Editoval jelena (26. 03. 2008 21:42)

↑ FinAAAL:

1. na obou stranach je objem kvadru ....

2. upravy - vytykani, vzorce a^3 + b^3, porovnani leve - prave , nebo take v primem dukazu by nemelo by zakazano ani dat vsecno na levou stranu a dokazovat, ze leva strana je mensi nebo se rovna 0

FinAAAL · 26. 03. 2008 21:37

↑ jelena: prosim tě jak si přišla na tu jedničku?Nejde mi to do hlavy

jelena · 26. 03. 2008 21:42 — Editoval jelena (26. 03. 2008 23:05)

↑ FinAAAL:

Zdravim - mela jsem tam preklep - mel to byt objem :-) Uz je to lepsi?

Na prave strane je objem kvadru o stranach a,b,c, - kazda strana je zvetsena 2 krat, tedy 2a*2b*2c
Na leve strane je opet kvadr a, b, c - - ke kazde hrane se prikresli jeste dalsi hrana - podle zadani a je potreba graficky ukazat z ceho se skladaji objemy "pridavnych" kvadru. OK?

lukaszh · 27. 03. 2008 14:43

Presne ako povedala jelena, len by som chcel dokoncit prvy priklad. Dostanes $(x-y)^2 (x+y)\ge 0$ , ta cast umocnena je vzdy kladna a druha je tiez pretoze ide len o kladne cisla...

zuuucinka · 18. 02. 2009 12:54

prosím zkuste to někdo, není to příliš težký,ale člověk se hned zamotá v číslech : \sqrt{10-\sqrt 11}<\sqrt{10+\sqrt11}+1. díky

zuuucinka · 18. 02. 2009 12:58

Pavel Brožek · 18. 02. 2009 13:07

↑ zuuucinka:

A to máme graficky interpretovat? Nebo přímo dokázat? Nebo ještě něco jiného?

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:10

prosim kdyby ste někdo měl chviličku tak na to mrkněte. děkuju ;-)

musixx · 18. 02. 2009 13:11 — Editoval musixx (18. 02. 2009 13:13)

↑ zuuucinka: Nema to byt spis obracene a s opacnou nerovnosti, tedy $\sqrt{10+\sqrt{11}}>\sqrt{10-\sqrt{11}}+1$ ? Totiz tak, jak jsi to napsala, je hned jasne, ze odmocnina vpravo je vetsi nez ta vlevo a vpravo to jeste navic zvetsujes o jednicku...

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:12

dokazat asi primym dukazem,uz sem to nejak mela,ale haprujou mi v tom ty odmocniny

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:13

no to jo na prvni pophled to tak je,ale kdyz se to zacne upravovat aby ti tam zustalo je jedno cislo, tak to nejak nejde :( teda aspon mne

musixx · 18. 02. 2009 13:15

↑ zuuucinka: Zrejme $\sqrt{10-a}<\sqrt{10+a}$ , jsou-li obe odmocniny definovane. Protoze $\sqrt{11}<10$ , tak jsou a tedy je $\sqrt{10-\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}$ . Ted jeste pravou stranu zvetsim o jedna, cimz nerovnost samozrejme bude stale platit (kdyz totiz plati $a<b$ , tak take zrejme $a<b+1$ ). A mam to.

musixx · 18. 02. 2009 13:19 — Editoval musixx (18. 02. 2009 13:21)

↑ zuuucinka: Uz asi tusim, kde mas problem. Ze to delas takto:

$\sqrt{10-\sqrt{11}}-\sqrt{10+\sqrt{11}}<1$

a tuto nerovnost ted umocnis na druhou? No jo, jenze to se prave dopoustis neekvivalentni upravy, resp. ekvivalentni by to bylo, kdybys vedela, ze ta leva strana je nezaporna. Coz ona totiz neni.

Timhle mas -1.064 < 1, coz je samozrejme pravda, ale umocnenim ziskas 1.13 < 1, coz pravda neni. Vysvetlil jsem ti tedy proc?

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:19

tak dekuju.snad to takhle vezme, myslim,ze spis asi chce abychom se patlali v tech cislech :( ale ses hodnej

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:20

takze se to nesmi umocnovat?

musixx · 18. 02. 2009 13:21 — Editoval musixx (18. 02. 2009 13:24)

↑ zuuucinka: Ale jasne ze se to muze umocnovat, ale kdyz to chces udelat, musis to delat jen tam, kde je to ekvivalentni uprava, tedy kde jsou obe strany nezaporne. Pockej chvilku, napisu sem, jak.

EDIT: Napriklad takto: Nic neupravovat, hned umocnit (a tam vim, ze na obou stranach stoji nezaporna cisla):

$10-\sqrt{11}<10+\sqrt{11}+1+2\sqrt{10+\sqrt{11}}$ , tedy $0<1+2\sqrt{11}+2\sqrt{10+\sqrt{11}}$ , coz je pravda, protoze vpravo je jen soucet kladnych cisel.

zuuucinka · 18. 02. 2009 13:30

10- √11< 1+10+√11+2 *10+√11 to 10+√11 má být celý pod odmocninou
-2√11-1 <2*10+√11 to 10+√11 má být celý pod odmocninou
45+ 4*√11 < 4 (10+√11)
45<40
omlouvám se ale neumim pracovat s těma znakama.porad nevim kde sem udelala chybu pac takhle to nevychazi

musixx · 18. 02. 2009 13:42 — Editoval musixx (18. 02. 2009 13:47)

↑ zuuucinka: Tvuj treti radek: opet neekvivalentni uprava. Vlevo mas zaporne cislo, takze samozrejme plati

zaporne < kladne,

ale uz nemusi platit

(zaporne)^2 < (kladne)^2

viz treba priklad -3<2, ale 9<4 pravda neni. To se ti opet stalo.

Chces-li to nutne dostat do tvaru 0<cislo (i kdyz nevim, k cemu bys to mela potrebovat), musis na tom dost zapracovat. Treba takto:

$0<1+\sqrt{10+\sqrt{11}}-\sqrt{10-\sqrt{11}}$
ted umocnim:
$0<1+10+\sqrt{11}+10-\sqrt{11}+2\sqrt{10+\sqrt{11}}-2\sqrt{10-\sqrt{11}}-2\sqrt{(10+\sqrt{11})(10-\sqrt{11})}$
tedy
$0<21+2\sqrt{10+\sqrt{11}}-2\sqrt{10-\sqrt{11}}-2\sqrt{100-11}$
tedy
$2\sqrt{10-\sqrt{11}}+2\sqrt{89}<21+2\sqrt{10+\sqrt{11}}$ .

Jiste je $\sqrt{89}<\sqrt{100}=10$ , tedy levou stranu muzu zvetsit na $2\sqrt{10-\sqrt{11}}+2\cdot10$ . Jiste take je $21=2\cdot10,5$ , a $10<10,5$ , tedy pravou stranu muzu zmensit na $2\cdot10+2\sqrt{10+\sqrt{11}}$ , tedy mi staci dokazat

$2\sqrt{10-\sqrt{11}}+2\cdot10<2\cdot10+2\sqrt{10+\sqrt{11}}$ ,
tedy
$\sqrt{10-\sqrt{11}}<\sqrt{10+\sqrt{11}}$ ,
ted mohu opet umocnit a mam
$10-\sqrt{11}<10+\sqrt{11}$ , tedy $0<2\sqrt{11}$ , opet umocnim a mam $0<44$ , coz je pravda.

Proste pri umocnovani je treba davat velky pozor na to, aby upravy byly ekvivalentni (nebo na zaver udelat zkousku, to je tez reseni u uloh, zatimco mas-li neco dokazat, zkousku asi udelas tezko, ze?).

EDIT: Ale stejne tady ted tak trochu delame sarlatanstvi, protoze pro ospravedlneni prvniho umocneni bych potreboval znat dokazovanou nerovnost. Ja to vidim tak, ze spravny postup je ten, ktery jsem ti ukazal uz v prvni reakci na tvuj dotaz.

EDIT2: Skoro bych si tipnul, ze priklad jste dostali prave proto, abyste si uvedomili, ze bezhlave se umocnovat nesmi...