Matematické Fórum

evalf · 13. 06. 2010 12:46

Ahojky, chtěl bych vás poprosit o radu, jak obecně sestrojit trojúhelník, známe-li stranu a, poloměr kružnice opsané a vepsané. Předem moc děkuju !!!

jelena · 13. 06. 2010 14:48 — Editoval jelena (13. 06. 2010 14:48)

↑ evalf:

Zdravím,

bude to jen námět, ve kterém se využívá algebraická konstrukce - můžete používat?

začala bých stranou a (BC), na ose strany a leží střed kružnice opsané, proto sestrojím osu strany a a z bodu B sestrojím kružnici s poloměrem =poloměr kružnice opsané. Průník osy strany a této pomocné kružnice dává střed kružnice opsané, lze sestrojit.

Využiji vztahu pro vzdálenost středu kružnic opsané a vepsané (je to algebraická konstrukce) a sestrojím kružnici, která bude udávat možnou polohu všech středu kružnice vepsané. Pokud ke straně a sestrojim ekvidistantu ve vzdálenosti poloměru kružnice vepsané, průníkem s pomocnou kružnici bude střed kružnice vepsaně.

Spojení středu kružnice s vrcholem B (nebo C) dává osu úhlu ABC, úhel ABC lze dostrojit (symetrie) a průník polopřímky vymezující úhel s kružnici opsanou dává bod A.

Vztah pro středy kružnic opsané vepsané je zde (2. str textu) nebo tam.

Snad pomůže.

evalf · 13. 06. 2010 20:33

↑ jelena:

Děkuju Ti strašně moc !!!

Nevím, jestli se to učitelovi bude líbit (myslím to použití algebraické konstrukce), ale za zkoušku nic nedám =)

jelena · 13. 06. 2010 22:51

↑ evalf: není za co.

Algebraická konstrukce by snad neměla vadit - je to využití Eukleidovy věty pro konstrukci délky odmocniny - případně odkaz (cca str 30 - 32)

Třeba někdo z kolegů vymyslí něco lepšího (nechám to ještě jako "nevyřešeno"). Děkuji.

gadgetka · 13. 06. 2010 23:01

V čem by bylo špatné řešení, kdyby se vůbec nepoužil údaj o poloměru kružnice opsané, sestrojila se jen kružnice vepsaná pomocí osy zadané strany a vzdálenosti $\rho$ od této strany a pak by se z bodů B a C vedly tečny k této vepsané kružnici ... nebo to jde jen u rovnoramenného trojúhelníku?

jelena · 13. 06. 2010 23:11

↑ gadgetka:

Zdravím,

střed kružnice vepsané je na průsečíku os úhlů, přes osu strany sestrojím kružnici opsanou (alespoň si to myslím).

Uvídíme, zda to kolegyňce bude stačit, nebo nás poinformuje o představě pana učitele.

Olin · 13. 06. 2010 23:16 — Editoval Olin (14. 06. 2010 12:02)

↑ gadgetka:
Problém je v tom, že střed kružnice vepsané leží na průsečíků os úhlů, nikoliv stran. Jinak, principielně jsou k sestrojení trojúhelníka (s konečně mnoha možnými výsledky) potřebné tři údaje (snad až na nějaké výjimečné případy).

Zkusím nabídnout alternativní řešení, které nemám ze své hlavy: jelikož máme stranu BC a poloměr kružnice opsané (EDIT), máme i velikost vnitřního úhlu u vrcholu A (jsou dvě možnosti - buď leží A na tom kratším, nebo na delším oblouku, každopádně je v rámci jednoho oblouku úhel $\angle BAC$ stejný). Jestliže je X střed kružnice vepsané trojúhelníku ABC, pak platí $|\angle CBX| + |\angle BXC| + |\angle XCB| = 180^{\circ}$ , ale zároveň taky $|\angle ABC| + |\angle CAB| + |\angle BCA| = 180^{\circ}$ a $|\angle CBX| = \frac 12 |\angle ABC|$ a $|\angle XCB| = \frac 12 |\angle BCA|$ (jde o osy úhlů), takže $|\angle BXC| = 90^{\circ} + \frac 12 |\angle BAC|$ . S touto znalostí můžeme sestrojit oblouk, na kterém se musí nacházet střed X, a pak jen zjistíme jeho průnik s rovnoběžkou se stranou BC.

A když už to tady píši, tak se rovnou i podělím o tuto hezkou stránku, ze které jsem čerpal (najdete tam tuto úlohu ve verzi, kdy známe úhel $\alpha$ ).

gadgetka · 13. 06. 2010 23:18

Jeleno, děkuji a také zdravím ... máš pravdu, u rovnoramenného by to tak šlo, ale jen pokud by byla zadána základna trojúhelníku, protože výška je zároveň osou úhlu a u rovnostranného by to šlo také.

jelena · 14. 06. 2010 11:45

↑ Olin:

Zdravím a děkuji za návod.

Jen jsem nepochopila, z čeho sestrojíme kružnicový oblouk pro kružnici vepsanou, když my žádný úhel namáme? Na kružnici opsané (tu umíme sestrojit) máme množinu bodu, ze kterých vidíme úsečku BC pod úhlem BAC, ale jak z toho přejdu na úhel $|\angle BXC| = 90^{\circ} + \frac 12 |\angle BAC|$ , to nevím. Děkuji.

Odkaz na stranku přidám do geometrické sbírky, děkuji.

↑ gadgetka: děkuji, asi to tak bude, hezký den :-)

Olin · 14. 06. 2010 12:00 — Editoval Olin (14. 06. 2010 12:02)

Zdravím,

máme jednu stranu a kružnici opsanou, známe tedy (dvojznačně) úhel u zbývajícího vrcholu - stačí si zvolit zcela libovolný bod K na příslušném oblouku kružnice opsané a bude platit $|\angle BKC| = |\angle BAC|$ . Se znalostí tohoto úhlu již snadno sestrojíme úhel $\angle BXC$ pomocí výše uvedeného vztahu. Dál je to snad jasné.

EDIT: Teď jsem si všiml, že v minulém příspěvku jsem měl napsané "vepsané" tam, kde mělo být "opsané" - to asi způsobilo nedorozumění. Opravil jsem to.

Honzc · 14. 06. 2010 13:04

↑ Olin:
To je pravda a konstrukce středu kružnice, pro níž platí, že
$|\angle BXC| = 90^{\circ} + \frac 12 |\angle BAC|$ je velice jednoduchá.
Stačí udělat kružnici opsanou, jak psala Jelena a potom jenom prodloužit přímku procházející bodem S (kr.opsané) a kolmé na /BC/. Průsečík této přímky s kružnicí opsanou (S') je už střed hledané kružnice. Pak stačí udělat kružnici k(S',/S'B/) a průsečíky s rovnoběžkou s /BC/ ve vzdálenosti ró jsou body X. Další konstrukce už je jednoduchá. (nejméně 2 možné konstrukce)

jelena · 14. 06. 2010 13:28

kolega Olin napsal(a):
stačí si zvolit zcela libovolný bod K...

děkuji, nedošlo mi to.

kolega Olin napsal(a):
...jsem měl napsané "vepsané" tam, kde mělo být "opsané" - to asi způsobilo nedorozumění. Opravil jsem to.

děkuji za opravu, možna jen trošku způsobilo, ale opravdu malo.

↑ Honzc: děkuji, pro kolegu Olina to bylo jednoduché, já jsem nechapala (a tak to standard).

Zdravím.

evalf · 14. 06. 2010 18:00

Děkuju všem za pomoc !!!!

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2010 12:46

Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#2 13. 06. 2010 14:48 — Editoval jelena (13. 06. 2010 14:48)

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#3 13. 06. 2010 20:33

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#4 13. 06. 2010 22:51

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#5 13. 06. 2010 23:01

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#6 13. 06. 2010 23:11

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#7 13. 06. 2010 23:16 — Editoval Olin (14. 06. 2010 12:02)

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#8 13. 06. 2010 23:18

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#9 14. 06. 2010 11:45

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#10 14. 06. 2010 12:00 — Editoval Olin (14. 06. 2010 12:02)

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#11 14. 06. 2010 13:04

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

#12 14. 06. 2010 13:28

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

kolega Olin napsal(a):

kolega Olin napsal(a):

#13 14. 06. 2010 18:00

Re: Konstrukce trojúhelníka - a, r, ró

Zápatí