Matematické Fórum

Saturday · 22. 03. 2008 22:24

$http://matematika.cuni.cz/dl/analyza/animace/k0061/math/html/images/stejnokap47.gif$

Nemohl by mi někdo ukázat příklad, kdy je tato věta důležitá? Nějaký příklad, kdy užití této věty příklad zjednoduší (kromě uvedeného výše :-)). Předpokládám, že takové případy budou.

Dík moc

robert.marik

Ted nevím jak s posloupnostma, ale pouziva se to treba u rad.

Hledejme treba soucet $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}$

Rada derivaci je geometricka rada $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$ s kvocientem x, to se da secist a vysledek je derivace souctu puvodni rady - staci to teda zintegrovat

To vse za predpokladu ze se da derivovat clen po clenu, tj. ze pracujeme uvnitr polomeru konvergence.

Sice to jsou rady, ale soucet rady je vlastne limita castecnych souctu, takze to spolu souvisi.

Editace: Mimochodem: Maple tu radu o ktere tu pisu umi secist (ale trva mu to dlouho), v Maxime jsem ten soucet nevypocital, asi je tam na to nejaky pridavny balicek.

Marian · 23. 03. 2008 10:26 — Editoval Marian (23. 03. 2008 10:53)

↑ Saturday:

Veta je mi jasna, ale u toho uvedeneho prikladu mi neni jasne, co znamena pojem korektne derivovat clen po clenu. Derivovat cleny nejake posloupnosti funkci mohu a korektni tento krok bude, budu-li mit spravne vypotene jednotlive derivace. Patrne je to nekde v uvedenem materialu osetreno poznamkou, ktera se tyka tohoto pojmu. Jde tedy o prechod f' --> lim (f'_n).

Zkusim jeste jiny priklad na posloupnost funkci.

Priklad.
Necht f_n: R --> R, kde
$f_n(x):=\frac{\sin (nx)}{\sqrt{n}},\qquad\forall (n,x)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R}.$
Pak plati
$\sup\limits_{x\in\mathbb{R}}\left |f_n(x)-0\right |\le\frac{1}{\sqrt{n}}\rightarrow 0\qquad n\to\infty ,$
tedy {f_n(x)}_n konverguje stejnomerne na R. Na druhou stranu plati
$f'_n(x)=\sqrt{n}\cos (nx),\qquad\forall (n,x)\in\mathbb{N}\times\mathbb{R}.$
Take plati ale
$f'_n(\pi )=(-1)^n\sqrt{n},$
tzn. $\{ f'_n(\pi)\}_{n=1}^{\infty}$ diverguje. Tudiz neplati pro vsechna x€R identita
$\lim_{n\to\infty}f'_n(x)=\left (\lim_{n\to\infty}f_n\right )'(x)\equiv 0,$
ackoliv limitni funkce $\scriptsize f(x)\equiv 0$ je vsude diferencovatelna.

Zaver. Ze stejnomerne konvergence f_n --> f na neprazdne mnozine M (podmonozina R) a z diferencovatelnosti limitni funkce f(x) a funkci f_n(x) pr vsechna prirozena n a vsechna cisla x€M neplyne inter alia f'_n --> f' na M.

Zhruba receno, aby identita o zamene limity a derivace byla spravna, musime pozadovat stejnomernou konvergenci posloupnosti {f'_n(x)}_n na M

Poznamka 1. Uvedene vety se daji samozrejme formulovat take pro pripad nekonecnych rad, jak jiz naznacil pan Mařík, polozime-li f_n(x)=s_n(x), kde s_n(x) je n-ty parcialni soucet rady, řekněme $\scriptsize\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ .

Velmi hezky priklad je s Riemannovou funkci $\scriptsize\zeta (x)$ . Polozime
$a_n(x):=\frac{1}{n^x},\qquad x>1,\, n\in\mathbb{N} .$
Plati
$a'_n(x)=-\frac{\ln n}{n^x}.$
Odtud se relativne snadno ukaze, ze rada $\scriptsize\sum_{n=1}^{\infty}a'_n(x)$ je lokalne stejnomerne konvergentni na mnozine $\scriptsize M:=(1,\infty )$ . Navic rada $\scriptsize\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)$ je take lokalne stejnomerne konvergentni na M. Tudiz plati identita
$\zeta '(x)=\left (\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}\right )'=\sum_{n=1}^{\infty}\left (\frac{1}{n^x}\right )'=-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^x},\qquad x>1.$

Poznamka 2. Predpoklad o existenci alespon jednoho bodu x_0 v M takoveho, ze posloupnost {f_n(x_0)}_n konverguje je podstatny a nelze jej vypustit, jak ukazuje nasledujici jednoduchy protipriklad. Necht f_n(x):=n pro vsechna x€R a n€N. Pak pro vsechna realna x je f'_n(x)=0, coz je zde totez jako (lokalni) stejnomerna konvergence na R. Nicmene posloupnost {f_n(x)}_n={n}_n je ale ocividne divergentni nezavisle na volbe cisla x.

Poznamka 3. S touto problematikou souvisi i hezka uloha o nalezeni funkce f(x) spojite na R, jez neni nikde diferencovatelna.

Saturday · 23. 03. 2008 11:00

Děkuju moc za odpovědi :-)

Marian · 23. 03. 2008 11:03 — Editoval Marian (23. 03. 2008 11:15)

↑ robert.marik:

Soucet rady
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$
je notoricky znamy pripad potencni rady. Jeji soucet je roven cislu -ln (1-x) a Maple 9.5 na to potrebuje mene nez 2 desetiny vteriny.

Uloha se da probrat take obecneji ve smyslu pozorovani nekonecnych rad tvaru
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^p},\qquad p\in\mathbb{N}.$
Tyto rady souviseji s funkcemi, jez nazyvame polylogaritmy radu p znacene ${\mathrm Li}_p(x)$ . Pro ty, kteri pracuji v Maple upozornuji, ze dilogaritmus se zde znaci pomoci dilog(x), pricemz plati dilog(x)=Li_2(1-x). Znaceni tady neni jednoznacne.

O vyssich logaritmickych funkcich vice treba zde. K polylogaritmum je napsana hezka knizka, totiz

[1] Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions. New York: North-Holland, 1981, (stahnout)

popr.

[2] Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. (stahnout)

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2008 22:24

Stejnoměrná konvergence - věta o derivaci

#2 22. 03. 2008 22:29 — Editoval robert.marik (22. 03. 2008 22:37)

Re: Stejnoměrná konvergence - věta o derivaci

#3 23. 03. 2008 10:26 — Editoval Marian (23. 03. 2008 10:53)

Re: Stejnoměrná konvergence - věta o derivaci

#4 23. 03. 2008 11:00

Re: Stejnoměrná konvergence - věta o derivaci

#5 23. 03. 2008 11:03 — Editoval Marian (23. 03. 2008 11:15)

Re: Stejnoměrná konvergence - věta o derivaci

Zápatí