Matematické Fórum

BakyX · 29. 06. 2010 10:43 — Editoval BakyX (29. 06. 2010 10:59)

Dá sa každá hodnota fukncie sin (pripadne cos, tg, cotg) vyjadriť niejakým výrazom a nie nekonečným číslom ? Keď áno, tak čomu sa rovná $sin(77)$ ?

halogan · 29. 06. 2010 10:53

Nevím, zda hledáš zrovna toto, ale možná se budou hodit Taylorovy řady.

Pavel Brožek · 29. 06. 2010 10:57

Vzhledem k tomu, že obor hodnot funkce sinus je [-1,1], tak hodnota sinu může být libovolné číslo z tohoto intervalu. Takže v jistém bodě bude sinus nabývat i hodnoty např. $\frac1{\pi}$ , což je iracionální číslo. Nejsem si ale jistý, co myslíš tím "vyjádřit nějakým výrazem".

BakyX · 29. 06. 2010 10:58

Napr.

$\sin(60)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

lukaszh · 29. 06. 2010 18:53

↑ BakyX:

Ani $\sqrt{3}$ nie je (podľa tvojho slovníka) "konečné číslo". Resp. nedá sa vyjadriť konečným počtom cifier.

1,732050807.........

Výraz $\sqrt{3}$ patrí do tej istej skupiny ako výraz $\sin(57^{\circ})$ . Jediné "konečné" čísla, ktoré tabuľkovo sínus nadobúda sú tie tradičné 1/2, 0 a 1. Viac k tomu nemám čo dodať.

byk7 · 29. 06. 2010 19:01

Řekl bych, že kolegovi jde o to, jak vyjádřit
přesně výraz $\sin(77^\circ)$ pomocí odmocnin, zlomků a konstant.
A ne prostě: $\sin(77^\circ)=\sin(77^\circ)$
(Pokud mi rozumíte.)

Nebo jsou výrazy jako např. $\sin(77)$ , $\cos(59)$ nebo $\tan(18)$ transcedentní?

lukaszh · 29. 06. 2010 19:11

↑ byk7:

Vyjadriť výsledok nejakého výpočtu pomocou odmocnín považujem za rovnaký úspech ako keby bol vyjadrený pomocou goniometrických výrazov. Vyčísliť odmocninu na pár desatinných miest, ako to robí kalkulačka je tak nenáročné ako vyjadrenie sínusu.

Ale ak bola otázka, či možno vyjadriť každú hodnotu sínusu pomocou "odmocnín", tak - nie, nemožno.

halogan

↑ lukaszh:

Možná by se slušelo říct, že to nejde vyjádřit jako konečný součet takovýchto výrazu, jako nekonečnou řadu už však ano (resp. její součet).

Edit: stejně tu mám chybu. "...to nejde vždy vyjádřit..."

lukaszh · 29. 06. 2010 20:13

↑ halogan:

Presne na toto som myslel. Rozmýšľal som, či mám editovať príspevok alebo nie. Ale povedal som si, že taký puntičkár snáď neexistuje. A existuje :-)

Olin · 29. 06. 2010 22:33 — Editoval Olin (30. 06. 2010 00:02)

Možná zcela nesouhlasím, alespoň pokud jde o goniometrické funkce s celočíselným argumentem ve stupních.

Čísla tvaru $\cos(n \cdot 3^{\circ}),\, n \in \mathbb{Z}$ se dají "snadno" vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních operací. Platí totiž
$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\nl \cos(36^{\circ}) = \frac 14 (1 + \sqrt{5})$
(důkaz druhé rovnosti např. zde na konci str. 3). Odtud vyjádříme $\cos(6^{\circ}) = \cos(36^{\circ}-30^{\circ})$ (umlátíme vzorcem) a konečně funkční hodnotu ve třech stupních nalezneme vzorcem pro poloviční argument. Nakonec dospějeme k výrazu
$\cos(3^{\circ}) = \frac{1}{4} \sqrt{8+\sqrt{3}+\sqrt{15}+\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}$ .

A jak je to, když nemáme počet stupňů dělitelný třemi? Potom využijeme
$\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ ,
takže si prostě vyrobíme násobek tří a kosinus původního úhlu zjistíme řešením kubické rovnice. Díky Cardanovým vzorcům lze i toto řešení vyjádřit konečným počtem elementárních operací (i když se do toho už možná mohou míchat i nějaké imaginární jednotky).

lukaszh · 29. 06. 2010 23:49

↑ Olin:

Pekné hodnoty :-) To čo som písal, som písal všeobecne. Nie na násobky a celé čísla.

check_drummer · 30. 06. 2010 00:24

↑ BakyX:

Nevím co znamená "vyjádřit výrazem", ale ať ty výrazy definuješ jakkoli a budou v jistém smyslu "konečné", pak to nelze, protože množina všech výrazů bude (nejspíš) spočetná, ale množina všech hodnot funkce sin je nespočetná.

halogan · 30. 06. 2010 07:24

↑ Olin:

A koho nebaví mlátit to vzorcema, tak Wolfram Alpha to udělá za nás.

BakyX · 05. 07. 2010 15:25

OK. Vďak za rady a informácie

Matematické Fórum

#1 29. 06. 2010 10:43 — Editoval BakyX (29. 06. 2010 10:59)

Otázka

#2 29. 06. 2010 10:53

Re: Otázka

#3 29. 06. 2010 10:57

Re: Otázka

#4 29. 06. 2010 10:58

Re: Otázka

#5 29. 06. 2010 18:53

Re: Otázka

#6 29. 06. 2010 19:01

Re: Otázka

#7 29. 06. 2010 19:11

Re: Otázka

#8 29. 06. 2010 19:15 — Editoval halogan (29. 06. 2010 20:17)

Re: Otázka

#9 29. 06. 2010 20:13

Re: Otázka

#10 29. 06. 2010 22:33 — Editoval Olin (30. 06. 2010 00:02)

Re: Otázka

#11 29. 06. 2010 23:49

Re: Otázka

#12 30. 06. 2010 00:24

Re: Otázka

#13 30. 06. 2010 07:24

Re: Otázka

#14 05. 07. 2010 15:25

Re: Otázka

Zápatí