Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z pravděpodobnosti a statistiky
- » Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku? (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)
#1 07. 07. 2010 22:36
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Zvolme náhodně číslo mezi 0 a 1 (každá hodnota je stejně pravděpodobná), pak nezávisle na něm zvolme další číslo stejným postupem jako v předchozím kroku a toto číslo přičtěme k prvnímu. Takto postupujme dále (v přičítání náhodných čísel). Kolik takových náhodných čísel budeme v průměru potřebovat, abychom dostali součet větší než 1?
Odpověď:
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
- (téma jako vyřešené označil(a) check_drummer)
#3 08. 07. 2010 07:23
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ Stýv:
Myslím, že ano, proč?
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#4 10. 07. 2010 12:07 — Editoval check_drummer (10. 07. 2010 12:08)
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Hint č. 1:
je pravděpodobnost, že k "překročení" jedničky dojde právě v i-tém kroku.
a je poučné spočítat 
a na základě tohoto výsledku i 
."Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#5 17. 07. 2010 16:13
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Hint č. 2:
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#6 27. 07. 2010 18:14
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ check_drummer: Ahoj, skúšam to "hrubou silou" a výsledky naznačujú, že súčet n - náhodných čísel ...s(n) = 0.5*n, a teda súčet > 1 sa dosiahne pri dvoch a viac ...( priemer n - náhodných čísel v limite by mal ísť --->0.5.)
Offline
#7 27. 07. 2010 18:37
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ pietro:
Jak píšeš, je to zhruba dva a víc.
Simulace by asi měla probíhat tak, že náhodně vygeneruješ číslo mezi 0 a 1, potom další atd. a budeš je k sobě přičítat a když překročíš 1, zapamatuješ si počet pokusů (nebo ho přičteš k nějakému čítači) a začneš znova od 0. Na konci vydělíš obsah tohoto čítače počtem pokusů (tj. počtem, kolikrát jsi přesáhl během všech experimentů 1).
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
#8 28. 07. 2010 01:42
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
.
známe – je to rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,1).
nulové hodnoty. 
tak můžeme z integrálu vynechat. Pro 
se 
chová podle indukčního předpokladu.![$=\int_0^x\varrho_{n}(x-x_2)\,\rm{d}x_2=\int_0^x\frac{(x-x_2)^{n-1}}{(n-1)!}\,\rm{d}x_2=\[-\frac{(x-x_2)^{n}}{n!}\]_{0}^{x}=\frac{x^n}{n!}$](/mathtex/5c/5c7cc71d076a7b11f980b5f756d3016d.gif "kopírovat do textarea")
![$P(n)=\int_1^2\int_0^1\frac{x_1^{n-2}}{(n-2)!}\varrho_1(x-x_1)\,\rm{d}x_1\rm{d}x=\nl =\int_1^2\int_{x-1}^1\frac{x_1^{n-2}}{(n-2)!}\,\rm{d}x_1\rm{d}x=\int_1^2\[\frac{x_1^{n-1}}{(n-1)!}\]_{x-1}^1\,\rm{d}x=\nl =\int_1^2\[\frac1{(n-1)!}-\frac{(x-1)^{n-1}}{(n-1)!}\]\,\rm{d}x=\[\frac{x}{(n-1)!}-\frac{(x-1)^n}{n!}\]_1^2=\nl =\frac2{(n-1)!}-\frac1{n!}-\frac1{(n-1)!}=\frac{2n-1-n}{n!}=\frac{n-1}{n!}$](/mathtex/61/614583f59d1829058cb240225aebdbed.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#9 28. 07. 2010 09:49
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Páni prosím poraďte mi, mne to nevychádza...kde robím chybu? V EXCELI nagenerujem stlpec A = RND() stlpec B = RND() ( a aj stlpec C) , ďalší stlpec je potom súčet predošlých dvoch náhodných čísel. Počet riadkov v stlpci je 1000, zo súčtov vytvorím histogram, toto opakujem 7 x , z četností urobím priemer a najčastejší súčet dvoch náh. čísel je v rozsahu od 1 ..do 1,1. VIĎ tiez GRAF
Offline
#10 28. 07. 2010 10:52 — Editoval BrozekP (28. 07. 2010 10:56)
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ pietro:
Řekl bych, že to máš dobře. Numericky jsi našel rozdělení pravděpodobnosti součtu dvou náhodných čísel. To je přesně rovno 
pro 
, 
pro 
a 0 jinde.
Jen nechápu, proč tam máš sloupec C, když bereš jen součet dvou náhodných čísel.
Pak myslím, že není potřeba dělat 1000 pokusů, to 7x opakovat a vzít průměr, ale rovnou můžeš udělat 7000 pokusů, výsledek by měl být stejný.
Offline
#12 28. 07. 2010 11:42
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ BrozekP:
↑ Stýv:
ďakujem páni za objasnenie, stlpec C mám prípravu pre súčet troch náhodných čísel a 1000 x 7 som dal z lenivosti, nechcelo sa mi ťahať vzorce v Exceli do 7000 riadkov :(..priznám..
Offline
#14 28. 07. 2010 14:46
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ Stýv:
Já vím Bohumile, ...já vím......excel se neříká !!!
Ale teraz prosím..dobre chápem? odpoveď : V priemere budeme potrebovať e=2,71828183.. kusov náhodných čísel ( daných vlastností), ich súčet bude vždy väčší ako 1.
Offline
#15 28. 07. 2010 14:54
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Ano, v průměru budeme potřebovat e náhodných čísel, aby jejich součet překročil 1.
Offline
#17 28. 07. 2010 15:44
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Ak by bola ešte chuť , nechcem to komplikovať...ale...
Offline
#19 28. 07. 2010 16:09
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Offline
#21 28. 07. 2010 17:44
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Offline
#22 28. 07. 2010 18:43
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ Stýv: No teda...krásne díky!!!! Radosť byť tu.
A teraz keď som nageneroval dvojice, trojice, atď. ako zistim to číslo e, prosím?
Offline
#23 28. 07. 2010 19:00
- Pavel Brožek
- Místo: Praha
- Příspěvky: 5694
- Škola: Informatika na MFF UK
- Pozice: Student
- Reputace: 194
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
Předpokládám, že těch devět sloupců je pouze opakování toho samého – sečti hodnoty v jednotlivých řádcích, dostaneš tak ke každému přirozenému číslu n už jen jedno číslo (označme ho 
). To číslo vyjadřuje počet pokusů, kdy součet čísel překročil jedničku teprve po vygenerování n-tého čísla. Teď uděláme vážený průměr:
Ten by měl vyjít e.
Offline
#24 28. 07. 2010 19:26
#25 01. 08. 2010 21:58
- check_drummer
- Příspěvky: 5577
- Reputace: 106
Re: Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku?
↑ BrozekP:
Podobně jsem postupoval i já. Zajímavá úloha ukazující, kde všude se mohou vyskytovat zajímavá čísla.
"Máte úhel beta." "No to nemám."
Offline
Stránky: 1
- Hlavní strana
- » Zajímavé úlohy z pravděpodobnosti a statistiky
- » Kdy součet náhodných čísel překročí jedničku? (TOTO TÉMA JE VYŘEŠENÉ)