Matematické Fórum

BakyX · 16. 07. 2010 07:05

Dobrý deň. Potrebujem pomoc s nasledujúcov úlohou:

Dokáž alebo vyvráť, že neexistuje také štvorice prirodzených čísel a,b,c,d, pre ktoré platia nasledujúce rovnosti:

$c=\sqrt{4a^2+b^2}$
$d=\sqrt{4b^2+a^2}$

Ďakujem za pomoc.

Cheop · 16. 07. 2010 12:04 — Editoval Cheop (16. 07. 2010 12:28)

↑ BakyX:
a) $c=\sqrt{4a^2+b^2}$
b) $d=\sqrt{4b^2+a^2}$
$c^2=4a^2+b^2$
$d^2=a^2+4b^2$
$c^2-d^2=3(a^2-b^2)\nl\frac{c^2-d^2}{a^2-b^2}=3\nl\frac{(c+d)(c-d)}{(a+b)(a-b)}=3$
Podmínka:
$a\quad\ne\quad\pm b$
Protože 3 je prvočíslo a při vědomí, že a,b,c,d jsou přirozená čísla, pak lze psát:
1)
$\frac{c+d}{a+b}=3\quad\wedge\quad\frac{c-d}{a-b}=1\nlc+d=3a+3b\nlc-d=a-b\nlc=2a+b\nl4a^2+4ab+b^2=4a^2+b^2\nlab=0\nla=b=0\quad\rm{nelze}$
2
$\frac{c+d}{a+b}=1\quad\wedge\quad\frac{c-d}{a-b}=3\nlc+d=a+b\nlc-d=3a-3b\nlc=2a-b\nl4a^2-4ab+b^2=4a^2+b^2\nlab=0\nla=b=0\quad\rm{nelze}$
3)
$\frac{c+d}{a-b}=1\quad\wedge\quad\frac{c-d}{a+b}=3\nlc+d=a-b\nlc-d=3a+3b\nlc=2a+b\nl4a^2+4ab+b^2=4a^2+b^2\nlab=0\nla=b=0\quad\rm{nelze}$
4)
$\frac{c+d}{a-b}=3\quad\wedge\quad\frac{c-d}{a+b}=1\nlc+d=3a-3b\nlc-d=a+b\nlc=2a-b\nl4a^2-4ab+b^2=4a^2+b^2\nlab=0\nla=b=0\quad\rm{nelze}$

Dokázali jsme, že neexistuji přirozená čísla a, b, c, d, pro která platí rovnosti výše.

BakyX · 16. 07. 2010 22:00

Fantastické

Matematické Fórum

#1 16. 07. 2010 07:05

Dokáž alebo vyvráť

#2 16. 07. 2010 12:04 — Editoval Cheop (16. 07. 2010 12:28)

Re: Dokáž alebo vyvráť

#3 16. 07. 2010 22:00

Re: Dokáž alebo vyvráť

Zápatí