Matematické Fórum

BakyX · 21. 08. 2010 15:31

Strany pravouhlého trojuholníka tvoria aritmetickú postupnosť. Vypočítaj polomer kružnice vpísanej trojuholníku, ak sa jeho obsah rovná 486 cm^2.

1. strana trojuholníka: $a$
2. strana trojuholníka: $a+x$
3. strana trojuholníka: $a+2x$

Podľa pytagorovej vety platí:

$a^2+a^2+2ax+x^2=a^2+4ax+4x^2$
$a^2-2ax-3x^2=0$
$-3x^2-2ax+a^2=$
$3x^2+2ax-a^2=0$

$D=(2a)^2-4.3.(-a^2)$
$D=4a^2+12a^2$
$D=16a^2$
$sqrt D=4a$

$x_ {12}=\frac{-2a+-4a}{6}$

$x$ sa nemôže rovnať $-a$ , preto

$x=\frac{a}{3}$

Pre obsah trojuholníka platí:

$2S=a(a+x)$
$a(a+x)=972$
$a^2+ax=972$
$ax=972-a^2$
$x=\frac{972-a^2}{a}$

Dáme do rovnosti:

$\frac{972-a^2}{a}=\frac{a}{3}$
$2916-3a^2=a^2$
$2916=4a^2$
$a^2=729$
$a=27$

$x=9$

1. strana trojuholníka: 27
2. strana trojuholníka: 36
3. strana trojuholníka: 45

Skúška:

$27^2+36^2=45^2$
$729+1296=2025$
$2025=2025$

$27.36=486.2$
$972=972$

Pre polomer kružnice vpísanej pravouhlému trojuholníku platí:

$\rho=\frac{a+b-c}{2}$
$\rho=\frac{27+36-45}{2}$
$\rho=\frac{18}{2}$
$\rho=9{}cm$

Vo výsledkoch je však uvedené toto:

$\rho=6\sqrt{2}$

Kde mám chybu ?

Mr.Pinker · 21. 08. 2010 16:04

nechce se mi to kontrolovat ted celý ale zkus je otočit že nejdelší strana bude a to by mohl vyjít jinej výsledek

jelena · 21. 08. 2010 16:05 — Editoval jelena (21. 08. 2010 16:07)

↑ BakyX:

Zdravím,

1) počítala jsem tak, že za a označím větší odvěsnou, potom (a-x) menší odvěsná, (a+x) přepona, odsud se dostanu ke snadnějšímu vyjádření a, x. Zdá se mi Tvůj přechod trošku odvažný.

2) vzorec pro kružnici vepsanou je v pořádku? Používala jsem tento

3) můj výsledek ovšem není $\rho=6\sqrt{2}$ , ale $\rho=9\sqrt{2}$ ale to bylo jen tak na 2 řádky, nepříliš pozorně.

EDIT: omlouvám se - nevšimla jsem, že již je doporučení od kolegy Mr.Pinker, tak to jen tak nechám, pokud by se hodilo.

BakyX · 21. 08. 2010 16:14

↑ Mr.Pinker:↑ jelena:

Nech skúšam akokoľvek, vždy dostanem výsledok p=9 cm. Inak..To "moje riešenie" je tiež správne, nie ?

jelena · 21. 08. 2010 16:23

↑ BakyX:

Ano, také mi vychází $\rho=9$ , dosadila jsem původně jinou hodnotu S.

BakyX · 21. 08. 2010 21:10

Hm..Takže to mám chápať tak, že výsledok v knihe je zlý ?

jelena · 21. 08. 2010 21:24

↑ BakyX:

řekla bych, že ano, počítala jsem podle postupu, jak jsem popsala, a Tvůj postup jsem zkontrolovala.

Toto jsou mé rovnice:

$a^2+a^2-2ax+x^2=a^2+2ax+x^2$ , po úpravě $a^2-4ax=0$

$2S=a(a-x)$

jelena · 21. 08. 2010 21:45 — Editoval jelena (22. 08. 2010 00:04)

Když budu dosazovat výsledek z knižky:

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané (ρ):

$S=\frac{a+b+c}{2}\rho$

$S=\frac{(b-x)+b+(b+x)}{2}\rho$

$972=18\sqrt{2}b$

${27\sqrt{2}}=b$

podle $b^2-4bx=0$ máme $x=\frac{27\sqrt{2}}{4}$

a strany: $a=27\sqrt{2}-\frac{27\sqrt{2}}{4}=\frac{81\sqrt{2}}{4}$ , $b=27\sqrt{2}+\frac{27\sqrt{2}}{4}=\frac{135\sqrt{2}}{4}$

Ale na co je nám to dobré, to já sama nevím.

Mr.Pinker · 21. 08. 2010 23:30

↑ jelena:
jen pro správnost b už nebude polovina ale bude to 27 odmocnin ze dvou

jelena · 21. 08. 2010 23:36

↑ Mr.Pinker: děkuji, opravím.

Mění to nějak situaci s neshodou výsledku? Děkuji.

BakyX · 22. 08. 2010 12:13 — Editoval BakyX (22. 08. 2010 12:14)

No OK. Keby sme šli obrátene, zo vzorca pre polomer kružnice vpísanej ozaj vyplíva, že

$b=27 \sqrt{2}$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* … 8b-x%29%29

Zo vzorca pre obsah trojuholníka vyplíva toto:

$x=9 \sqrt{2}$ http://www.wolframalpha.com/input/?i=27 … x%29%3D972

Preto môžeme povedať:

$a=18\sqrt{2}$
$b=27\sqrt{2}$
$c=36\sqrt{2}$

Potom však neplatí pytagorová veta:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 82%29%29^2

Myslím, že v tej knihe je jednoducho chyba a .

jelena · 22. 08. 2010 14:41

↑ BakyX: také si myslím, že je to překlep ve výsledku.

Ovšem, když odvozuješ a, b, c přes vzorec pro "obsah pravoúhleho trojuhelníku", tak předpokládaš, že trouhelník je pravoúhlý. To se mi nezdá jako úplně korektní krok.

Stejně tak, že ani já nemám korektní, když předpokládám, že platí Pythagorová věta.

Myslím, že to ověření výsledku z knihy není úplně košer ani v mém, ani ve Tvém provedení :-)

Ovšem jit hledat kružitko a sestrojovat (nebo geometricky odvozovat), to vysoko překračuje rámec mého snažení. Pojmout to jako úlohu s parametrem by nebylo špatné, ale nemám na to čas.

Důležité - jak jsem se ptala na Tvůj vzorec pro kružnici vepsanou (↑ BakyX:), tak jsem si uvědomila, že v pořádku je. Omlouvám se za dotaz. Zde byl proveden i důkaz - viz odkaz.

Navrhuji považovat za vyřešené.

Matematické Fórum

#1 21. 08. 2010 15:31

Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#2 21. 08. 2010 16:04

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#3 21. 08. 2010 16:05 — Editoval jelena (21. 08. 2010 16:07)

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#4 21. 08. 2010 16:14

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#5 21. 08. 2010 16:23

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#6 21. 08. 2010 21:10

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#7 21. 08. 2010 21:24

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#8 21. 08. 2010 21:45 — Editoval jelena (22. 08. 2010 00:04)

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#9 21. 08. 2010 23:30

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#10 21. 08. 2010 23:36

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#11 22. 08. 2010 12:13 — Editoval BakyX (22. 08. 2010 12:14)

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

#12 22. 08. 2010 14:41

Re: Pravouhlý trojuholník - jednoduchá úloha - kde mám chybu ?

Zápatí